środa, 11 grudnia 2013

Drgania w pigułce.

Wszechmocny jest doskonale zły!!!!.  W tej sytuacji nie wiedza jest rajem a wiedza piekłem. Zastanów się dobrze, czy jego wolą jest, Byś się uczył.
Przemyśl to dobrze i zdecyduj czy chcesz wystąpić przeciwko niemu, swoją nauką wbrew jego woli. Pewne jest, że są Ludzie, którym pozwolił się uczyć do pewnych granic. Przemyśl to dobrze, za nim zaczniesz czytać poniższy artykuł. 

Aksjomaty matematyki znajdziecie pod adresem:

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/12/matematyka-w-piguce.html?view=timeslide

Z praw Newtona i praw ruchu po okręgu można udowodnić prawo okresu drgań wahadła matematycznego i fizycznego.
My tutaj udowodnimy okres drgań wahadła matematycznego, które zakłada masę wahającą się, nie posiadającą rozmiarów, skupioną w jednym punkcie. Zał€żmy, że mamy taką masę zawieszoną jak na poniższym zdjęciu


Na tą masę działa siła grawitacji, którą rozkładamy na osie współrzędnych w sposób pokazany na zdjęciu. siłę dośrodkową równoważy siła grawitacji równa F = m*g*sin(alfa), gdzie g jest przyśpieszeniem planetarnym. To pierwsze równanie. Ponieważ masa ta porusza się po okręgu więc na nią działa siła dośrodkowa F = m*v^2/R, gdzie R jest długością wachadła. Mamy więc drugie równanie. Z pierwszego prawa Newtona wiemy, że siły te muszą się równoważyć, w przeciwnym przypadku masa zerwała by się z nici. Możemy więc te dwie siły przyrównać do siebie, Tak jak pokazano na poniższym zdjęciu:


 Jest to bardzo potężny wzór. Zakładając, że znajdujemy się na nieznanej planecie, możemy budując takie wahadło policzyć jej przyśpieszenie planetarne a tym samym jej masę. Długość wachadła bardzo łatwo zmierzyć jak też i okres tego wachadła. Rozwiązując wtedy powyższe równanie na T względem g otrzymamy

                                         g = 4*pi^2*R/T^2
Proponujemy przeczytać powieść Robot




Wahadło fizyczne. Okres drgań wahadła fizycznego.

Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-pochodna-funkcji-rachunek.html
http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-do-postu-rachunek-cakowy-dla.html

Dodatkowo trzeba zapoznać się z teorią równań różniczkowych. Kto jej nie zna, ten krótki opis znajdzie pod linkiem

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/11/rownania-rozniczkowe-w-piguce.html

Wahadło fizyczne różni się od wahadła matematycznego tym, że to pierwsze ma wymiary. Tym samym siła grawitacji nie jest zaczepiona w punkcie materialnym obdarzonym masą, lecz w środku masy ciała. tu nie da się pominąć masy towarzyszącej odległośći d tak jak to można było zrobić w przypadku wahadła matematycznego, dlatego trzeba się posłużyć momentem siły N.
Zawsze tak jest to prawo naturalne i jest bardzo ważne by to prawo rozumieć. Na przykład krzywa wieża w Pizzie, niewywróciła się dlatego, gdyż jej środek masy nie przekroczył jej podstawy. Wracając do zadania, Moment siły działający na ciało wynosi:

Dla małych wychyleń sinus teta możemy przyjąć jako teta.
Z drugiej strony możemy napisać drugie równoważne równanie:
Podstawiamy k w sposób pokazany na poniższym zdjęciu.

Gdzie:
I - Moment bezwładności ciała.

Przenoszącd wyrażenia na jedną stronę i podstawiając wcześniej określone k, otrzymujemy równanie różniczkowe ,



Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest funkcja, którą odgadujemy. To bardzo częsta metoda rozwiązywania równań różniczkowych. Nie wszystkie rozwiązania tych równań można opisać wzorami, dlatego często rozwiązania trzeba zgadywać. To trudna sztuka, nie które równania są skomplikowane i trzeba mieć mocną wiedzę z matematyki by zgadywać rozwiązania.

Sprawdzenia dokonujemy przez podstawienie teta i drugiej pochodnej teta do równania różniczkowego. Jeżeli jest ono rozwiązaniem to lewa strona równania powinna nam się wyzerować. Następnie zauważymy, że rozwiązanie powinno też zachodzić dla t równego zero, Tak naprawdę powinniśmy wstawić okres T. Jeżeli T = 0 wtedy cosinus k*T równy jeden więc otrzymujemy:

Otrzymaliśmy wzór na okres drgań wahadła fizycznego. 


Wahadło torsyjne. Wzór na okres drgań wahadła torsyjnego

Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-pochodna-funkcji-rachunek.html
http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-do-postu-rachunek-cakowy-dla.html

Jeżeli skręcimy krążek pokazany na powyższym zdjęciu a następnie puścimy, wtedy na krążek zadziała moment siły skręconego pręta z definicji moment siły jest równy.

Gdzie
Fy - Siła Yonga
R - Promień krążka
Zauważmy, że za promień R do którego została przyłożona nasz asiła możemy podstawić kąt teta, gdyż o ten kąt skręcamy krążek. Możemy więc napisać dwa równania.

Gdzie
I - moment bezwładności równym m*R
Skoro mamy dwa równania to przyrównujemy je do siebia.

Otrzymaliśmy równanie identyczne co do formuły opisujące lawinową reakcję łańcuchową, więc i rozwiązanie jest identyczne. Podstawiamy k w sposób pokazany na poniższym zdjęciu.

Sprawdzenia dokonujemy przez podstawienie teta i drugiej pochodnej teta do równania różniczkowego. Jeżeli jest ono rozwiązaniem to lewa strona równania powinna nam się wyzerować. Następnie zauważymy, że rozwiązanie powinno też zachodzić dla t równego zero, Tak naprawdę powinniśmy wstawić okres T. Jeżeli T = 0 wtedy cosinus k*T równy jeden więc otrzymujemy:

Otrzymaliśmy wzór na okres wahadła torsyjnego. Siła Yonga dana jest wzorem:


Drgania sprężyny tłumione.

Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-pochodna-funkcji-rachunek.html
http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-do-postu-rachunek-cakowy-dla.html

Układamy równowagę sił i tak po kolei:
Wypadkowa siła wynosi:

Siła sprężystości dana jest wzorem:

Przeciwko sile sprężystości będzie też działać siła tłumiąca pochodząca od oporów wewnętrznych sprężyny jak też ośrodka otaczającego sprężynę.Siła ta jak potwierdzono doświadczalnie jest proporcjonalna do prędkości. Pamiętajmy, że prędkość jest pierwszą pochodną po drodze a przyśpieszenie drugą pochodną po tej drodze. Siła oporów jest więc dana wzorem:

Przyrównujemy te równania do siebie dbając o znaki, te które są zgodne z wypadkową siłą dajemy z plusem a przeciwne z minusem.

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe drugiego rzędu o współczynnikach stałych, więcej na ten temat znajdziecie pod poniższym linkiem.

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/11/rownania-rozniczkowe-w-piguce.html

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja.

Gdzie r jest do wyznaczenia. Wyznaczamy je przez dwu i jedno krotne różniczkowanie, tak jak pokazaliśmy na poniższym zdjęciu.

Podstawiając to do równania różniczkowego otrzymujemy

Przyglądnijmy się rozwiązaniu tego równania.

Stała r musi mieć wymiar [1/s] gdyż w wykładniku mamy czas.

To bardzo ważna i pomocna regóła, wymiary w wykładnikach muszą się skracać. Jeżeli tak nie jest, to mamy błędne równanie!!!!!.

wobec tego r ma wymiar częstotliwości, pomnóżmy ją przez dwa pi a otrzymamy omegę, częstość kołową. Pokazaliśmy to na poniższym zdjęciu.

Omega równa się 2*(pi)/T, więc mamy od razu wzór na okres drgań.
A oznaczając r tak jak na zdjęciu dla skrócenia zapisu otrzymujemy wzór na drogę x w ruchu tłumionym.

Gdzie A jest początkowym wychyleniem z położenia równowagi. 


 Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki
http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/02/00000r0a0chunek-cako0wy-dla-tych-ktorzy.html


http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/06/rachunek-cakowy-dla-opornych-i.html?view=timeslide

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-pochodna-funkcji-rachunek.html?view=timeslide
Drgająca struna.

Weźmy pod uwagę równanie falowe, którego wyprowadzenie znajdziecie pod linkiem
http://izyda123456635466.bloog.pl/id,332921073,title,Rownania-Maxwela-i-rownanie-falowe,index.html?smoybbtticaid=611a3e 
Dodamy, że cztery równania Maxwela są podstawą nowoczesnej fizyki. Trzeba więc te równania dobrze wić sobie do głowy raz z wynikającym z nich równaniem falowym, które pokazaliśmy na poniższym zdjęciu.


Pamiętajmy, że równanie falowe w tej postaci, mówi iż znikło źródło fali. Funkcja A jest potencjałem dowolnej funkcji U(x), tym samym za A możemy podstawiać dowolną funkcję.


Oznacza to, że każda funkcja jest potencjałem jakiejś funkcji dowolnej.
Wyprowadzenie funkcji falowej znajdziecie pod poniższymi linkami. Są dwa sposoby.

http://matematyka-fizyka1.blogspot.com/2013/01/rownania-maxwela-i-rownanie-falowe.html

Możemy więc za A przyjąć drogę, która dla drgającej struny zmienia się sinusoidalnie. Wstawmy np. funkcję A taką:
Stała k ma wymiar [1/m] a  omega [1/t]. Poto czynimy takie założenie by wymiary się zniosły. Pozostaje wtedy tylko wymiar amplitudy równy [m], co oznacza równość wymiarów po obu stronach równania..
Wogóle funkcje takie jak:


muszą być bezwymiarowe. Dlatego koniecznie trzeba je uzupełnić o  stałe k mające wymiar [1/x].

Matematyka sobie,  a żeczywistość fizyczna sobie. ż punktu widzenia fizycznego, czyli w rzeczywistości poprawne są funkcje:

Wracamy do równania struny, z którego wyznaczymy częstotliwość drgającej struny. Zadanie jest proste. Różniczkujemy dwókrotnie po x i po t.

Wstawiamy to do równania falowego otrzymując.

Dobrze by teraz było wyrazić prędkość za pomocą gęstości struny i siły naprężającej ją.
W tym celu zastosujemy analizę wymiarową.

Jeżeli za x wstawimy wymiar [kg/m], wtedy otrzymamy zgodność po lewej i po prawej stronie.

Tak się szczęśliwie składa, że brakującym wymiarem jest gęstość liniowa struny, czyli jej masa przypadająca na jeden metr.
To bardzo często stosowana sztuczka w fizyce. Analiza wymiarowa jest potężnym narzędziem..
Mamy więc



Wstawiając to do powyższego równania otrzymamy po przekształceniach:




Czyli częstotliwość drgań struny wynosi:



Gdzie k jest stałą, którą wyznaczamy doświadczalnie a F siłą naprężającą strunę. My z grubsza wyznaczyliśmy ją wzorem logicznym pod poniższym linkiem.

http://matematyka-fizyka1.blogspot.com/2013/01/rownania-maxwela-i-rownanie-falowe.html
 Pomyliliśmy tam odwrotności, jednak łatwo dojdziecie gdzie jest błąd pamiętając, że k ma wymiar [1/m}

Drgająca struna została opisana już w starożytności przez Greków.


Drgania rezonansowe układu LC

Mechanizm tych drgań jest następujący. W cewce skutkiem przepływu przez nią zmiennego prądu indukowane jest pole magnetyczne, kiedy prąd zmienia swoją fazę na przeciwną zmianie też ulega natężenie prądu płynącego przez przewodnik, co powoduje sinusoidalne wahania pola magnetycznego. Zanik pola magnetycznego powoduje powstanie pola elektrycznego, które działając na swobodne elektrony w przewodniku, powoduje ich przepływ do kondensatora, który gromadzi je na swoich okładkach, powodując stopniowy wzrost napięcia między jego okładkami. Zakładamy że dopływ prądu z sieci został w tej chwili wyłączony. Całe sedno drgania układu lc polega na tym by tak dobrać pojemność kondensatora by wytwożone pole elektryczne spowodowało wzrost napięcia U do U granicznego. Spowoduje to krutki impuls przepływu prądu, który to znów wytworzy pole magnetyczne, kiedy przepływ prądu ustanie zaniknie też pole magnetyczne co spowoduje powstanie pola elektrycznego, któte znów naładuje kondensator do U granicznego i tak w koło. 

                               Zasada działania Radia

Polega ona na wprowadzeniu układu lc w częstość rezonansową z falą elektromagnetyczną niosącą informacje z nadajnika radiowego.
Składowa elektryczna tej fali powoduje gromadzenie ładunków na okładkach kondensatora aż do U granicznego. Osiąga się to w radiu przez zastosowanie kondensatorów o zmiennej pojemności, dlatego można dostrajać się radio odbiornikiem do różnych częstotliwości. Inaczej mówiąc częstość drgań lc radio odbiornika jest równy częstości drgań fali elektromagnetycznej niosącej informacje

Spróbujmy policzyć tą okres drgań. Dla układu z samą cewką mamy siłe elektromagnetyczną równą


L - jest indukcyjnością cewki. Dobrze przypatrzyć się zdjęciu!!! Przy wyprowadzeniu tej siły kożystamy z prawa Faradaja, które jest aksjomatem więc trzeba to prawo dobrze zapamiętać. Prawo to znajdziecie pod adresem

 http://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo_indukcji_elektromagnetycznej_Faradaya

Pole magnetyczne B określone jest prawem Ampera. Dobrze znać wyprowadzenie tego prawa a napewno dobrze trzeba to prawo zapamiętać. Wyprowadzenie znajdziecie pod adresem:

 http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/11/wyprowadzenie-prawa-ampera-prawo-ampera.html?view=timeslide

 Można zerknąć, ale to trudny chleb. Najlepiej wspomniane w tym artykule wzory zapamiętać. Tak jest o wiele prościej.

Dla kondensatora siła SEM wynosi


Gdyż tak jak dla pierwszwj definicji pracy W = F*s stąd F = W/s, Więc tak samo dla drugiego rodzaju pracy 


                                     W/q = delta(U) =F

Jest to bardzo ważne prawo,

Z trzeciego aksjomatu Newtona wynika, żet e dwie siły są równe, gdzie cewka i kondensator są odpowiednio ciałami a i b.


    Ponieważ mamy omegę impulsów prądowych podczas wyładowań kondensatora więc mnożąc prawą stronę równania przez 2*pi , czyli pełne koło, otrzymamy okres drgań układu Lc

                               
   dla cewki powietrznej, krągłej 

                   deta(s) = pi*r^2*n^2

n - jest liczbą takich okręgów czyli liczbą zwojów
l - zaś całkowitą długością uzwojenia 


Autor: o

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz

Subskrybuj: Komentarze do posta (Atom)