Elektryczność i elektromagnetyzm w pigułce1.

Wszechmocny jest doskonale zły!!!!.  W tej sytuacji nie wiedza jest rajem a wiedza piekłem. Zastanów się dobrze, czy jego wolą jest, Byś się uczył.
Przemyśl to dobrze i zdecyduj czy chcesz wystąpić przeciwko niemu, swoją nauką wbrew jego woli. Pewne jest, że są Ludzie, którym pozwolił się uczyć do pewnych granic. Przemyśl to dobrze, za nim zaczniesz czytać poniższy artykuł.
 
Aksjomaty matematyki znajdziecie pod adresem:

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/12/matematyka-w-piguce.html?view=timeslide 

Aksjomaty elektryczności i elektromagnetyzmu.
 
Niżej podane wzory są podstawowe dla elektryczności i magnetyzmu. Równania Maxwela są aksjomatyczne, więc nie ma na nie wyprowadzenia. Należy dobrze te równania wbić sobie do głowy. Prawo Ampera wynika z tych równań, jak i wzór na prędkość światła. Niżej podajemy linki do ich wyprowadzeń.

Równania Maxwella.

   

dS - elementarna zmiana pola powierzchni

dL - elementarna zmiana długości

L - długość cewki

delta S - pole powierzchni sumy zwojów cewki
R - oporność przewodnika

Do tego trzeba jeszcze zaznajomić się z prawami Kirchoffa i będziecie mieli pigułkę.

Podstawowe prawa matematyczne 

 teorii pola.

Uf. Dużo trzeba się nauczyć na pamięć.

Te ostatnie wzory pochodzą z rachunku operatorów. Więcej na ten temat znajdziecie pod adresami.

 

 http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/06/rachunek-operatorow-to-rachunek.html

 http://pl.wikipedia.org/wiki/Rotacja

Rachunek tensorów znajdziecie pod adresem

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-rachunku-tensorowego.html

To wszystko trzeba umieć, by módz zrozumieć poniższe dowody. Rachunkiem tensorowym udawadniamy też dywergencję z dywergencji, rotację z rotacji i inne.

Wyprowadzenie prawa Ampera - Prawo Ampera.

Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-pochodna-funkcji-rachunek.html

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-do-postu-rachunek-cakowy-dla.html
Prąd o gęstości j płynie przez przewodnik wzdłuż osi Z. Związek między gęstością a natężeniem prądu został pokazany na poniższym zdjęciu. Jest to prawo aksjomatyczne trzeba zrozumieć i zapamiętać.
Korzystamy z pierwszego równania Maxwella
Otrzmujemy więc równanie na natęrzenie pola elektrycznego E

 Po uwzględnieniu wzoru na Q otrzymujemy

 Drugie równanie na zdjęciu pokazuje związek między potencjałem i polem elektrycznym E. Później zrozumiecie po co liczymy tą wielkość. Dalej mamy

W artykule- Równanie falowe i prawa maxwela - wprowadziliśmy pole potencjalne A, którego rotacja daje pole magnetyczne. To bardzo ważne prawo matematyczne przedstawione na początku. Literka oznaczająca to pole nie jest ważna. Ważne jest, że to potencjał.

Tutaj wyprowadzone pole fi jest właśnie odpowiednikiem pola A i stanowi jego potencjał tak jak V jest potencjałem pola elektrycznego E. Jest to bardzo warzny wzór, nauczciesię dobre sposobu wyprowadzenia, Tak więc pole magnetyczne B jest rotacją pola potencjalnego fi.

Przypomnimy tutaj operator rotacji, Oprator rotacji od dywergencji różni się tylko iloczynami, pierwszy jest iloczynem skalarnym drugi iloczynem wektorowym, to daje olbrzymią różnicę. Wzór na rotację otrzymuje się z rachunku tensorowego, który znajdziecie w naszym blogu, wzory na dywergencje i rotację pola podaliśmy terz w artykule- Równania Maxwella podstawą teorii pola- Też znajduje się w tym blogu< oto wzór na rotację.
 
We wzorze tym na przykład f(z) - oznacza, że składową zetową pomijamy we wzora, pozostaje tylko x i y.
Ponieważ prąd płynie tylko po składowej Z Więc niezerowe rozwiązanie istnieje tylko dla składowej fi(z), wszystkie inne sięzerują pokazaliśmy to na poniższym zdjęciy. Pamiętajmy , że ze wzoru na
r^2= x^2+y^2+z^2
składową z^2 odrzucamyzostaje więc pocodna po y i po x tylko z równania
r^2 = x^2+ y^2

Korzystając z twierdzenia logarytmów 1/2 wynosimy przed logarytm i stosujemy wzór na pochodną funkcji złożonej. Mając składowe Bx, By,, Bz, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, które da nam wypadkowy wektor B pola magnetycznego.

Przenosząc L na lewą stronę równania i przechodząc z l na d(L), otrzymamy klasyczne prawo Ampera w postaci całkowej

d(L) - jest dowolną krzywą przedstawioną dowolnym wzorem, może być to po prostu L lub np. L*ln(L)
Zauważmy, że przenikalność próżni razy prędkość światła do kwadratu daje przenikalność magnetyczną próżni, ściślej jej odwrotność. Jeżeli przeniesiemy 2*pi na lewą stronę wtedy otrzymamy całkę obrotową, która jest ostateczną postacią prawa Ampera

Wyznaczanie prędkości światła na podstawie równań Maxwela.

Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/06/rachunek-cakowy-dla-opornych-i.html?view=timeslide

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-pochodna-funkcji-rachunek.html?view=timeslide
 

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/06/rachunek-operatorow-to-rachunek.html?view=timeslide

Przypomnijmy równania Maxwella w postaci różniczkowej. Operatory są różniczkami. Równania Maxwella radzimy przyjąć aksjomatycznie to znaczy nauczyć się ich na pamię. Są niezwykle ważne. Nie wiemy czy da się je udowodnić.

Bierzemy pod uwagę czwarte równanie Makswela licząc je na powyższym zdjęciu

Działamy teraz obustronnie operatorem rotacji.

Zakładamy, że źródło fali elektromagnetycznej, którym jest gęstość prądu znikło, więc z trzeciego równania Maxwella otrzymujemy równaniepokazane na poniższym zdjęciu, co w połączeniu z porzednim równaniem daje nam układ równań.

Łatwo udowodnić stosując rachunek tensorowy, że

Należy stale pamiętać, że iloczyn wektorowy oznacza iloczyn prostopadłych do siebie wielkości. Tą prostopadłość gwarantuje nam tensor.
Opis rachunku tensorowego znajdziecie tutaj. Łatwo też w internecie znajdziecie definicję przestrzeni.

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-rachunku-tensorowego.html

Pierwszy człon równania powyższego równa się zeru a dowód tego znajdziecie tutaj, też dochodzi się do niego stosując rachunek tensorowy.
http://izyda123456.blog.interia.pl/Operatory/
Wobec tego otrzymujemy równanie:

Jest to wzór równania falowego bez źródła fali.
Przypomnimy je teraz.

Jest to ta sama formuła matematyczna. Możemy więc napisać:

Jest to prędkość fali elektromagnetycznej czyli prędkość światła, a to mieliśmy wyznaczyć.

W trzecim równaniu Maxwella I oznacza gęstość prądu.

Równania Maxwela i równanie falowe

Równanie falowe

Równanie takie wyprowadza się z równań Maxwela, na początek weźmy dwa z nich w postaci różniczkowej

Wprowadzimy pole potencjalne A co spowoduje, że  będziemy mogli zastosować wzór podany na początku. fi czy A, nazwa nie ma znaczenia. Przypomnimy to prawo teorii pola

Jest ono dowolne, a jedynym warunkiem jest to by jego całka równała się B. Z pierwszego równania otrzymujemy

Dla sumy takich pól możemy wprowadzić stały potencjał skalarny fi. Ponieważ mamy poprawej stronie równania zero więc korzystamy z rachunku pochodnych - Pochodna ze stałej równa się zero. Otrzymujemy w ten sposób

To równanie może posłużyć do wyprowadzenia równania falowego jednak to zostawiamy karzdemu czytelnikowi jako ćwiczenie. My tutaj wyprowadzimy równanie falowe na podstawie czwartego równania Maxwella

Dla jasności dodamy, że

Rachunek tensorów, bo z nim mamy do czynienia znajdziecie w tym blogu.

Przykład z propagacją fali dźwiękowej w ośrodku sprężystym.

Prędkość rozchodzenia się fali.

Zauważymy, że operator różniczkowy

jest pochodną po współrzędnych liniowych. Wiedząc to rozpatrzmy falę rozchodzącą się wzdłuż osi x, równolegle do podłoża. Założymy jeszcze dla uproszczenia rachunków, że źródło fali znika po zadziałaniu a prpagacja fali zachodzi bez strat energetycznych. Rozpatrujemy wtedy równanie typu. 

W danym ośrodku prędkość fali jest stała więc mamy równanie różniczkowe zerowego rzędu. Załużmy teraz ,że falę opisuje wzór, jest zgodny z rzeczywistością.

Dipol elektryczny. Natężenie pola elektrycznego w odległości r od dipola. Zasada działania radia

Dipol elektryczny. Natężenie pola elektrycznego w odległości r od dipola. Zasada działania radia

Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-pochodna-funkcji-rachunek.html

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-do-postu-rachunek-cakowy-dla.html
Policzymy tutaj natężenie pola elektrycznego E w odległości R od niego w punkcie P. Dipol drgający został umieszczony w postaci naładowanego pręta w kartezjańskim układzie współrzędnych wzdłuż osi Z. Korzystamy z zależności podanej na początku. Sami widzicie jak te trzy prawa matematyczne są ważne.

Tutaj potencjał oznaczyliśmy po przez symbol fi, może bardziej szczęśliwe było by oznaczenie klasyczne U. Calka z pola eletrycznego jest potencjałem, więc skoro pochodna jest odwrotnością całki więc pochodna potencjału U daje pole elektryczne E.
Należy teraz określić potencjał pola elektrycznego fi w punkcie P. Tutaj zadanie jest proste gdyż potencjał ten jest różnicą potencjałów wynikających z odległości r1 = [0,0,-d/2] i r2 = [0,0,d/2], są to współrzędne r1 i r2. Innymi słowy to środek pręta znajduje się w układzie współrzędnych uczyniliśmy tak po to by zapewnić symetrię. Potencjał pola elektrycznego jest znany i wyraża się wzorem:

Kąt teta pokazany na rysunko jest kątem między osią Z a płaszczyzną X,Y.. Na tej płaszczyźnie został umieszczony środek dipola.. Wobec tego wypadkowy potencjał w punkcie P wynosi

Dla dużych odległości od dipola wielkość d^2/(4*r^2) jest tak mała, że możemy ją pominąć. Wyrażenie pod pierwiastkiem przybiera więc postać

Wobec tego wzór na wypadkowy potencjał w punkcie P przybiera postać

Następnie stosujemy przybliżenie pierwsze równanie na poniższym zdjęciu.

Dla dużych r znowu człon w nawiasie możemy pominąć, więc ostatecznie wzór na potencjał w punkcie P, przybiera postać

Gdzie
P = Q*d _ moment dipolowy
d- rozmiar dipola
Q ładunek na dipolu
ponieważ Z/r = cos(teta), więc potencjał w punkcie P określony za pomocą r i teta ma postać

Pole elektryczne w odległości P od drgającego dipola.
Chcąc policzyć pole elektryczne w punkcie P wracamy do wzoru określającego zależność pola elektrycznego od pochodnej potencjału. Parę zdjęć wyżej. Kożystamy z trzeciego równania pokazanego na początku. Mamy jedną pochodną po r i teta więc operator nabla przybiera postać jak niżej. Jest tylko jedna współrzędna.

Jest to wzór określający natężenie pola elektrycznego E w podległości r od drgającego dipola wyrażony za pomocą r - odległości i kąta teta
Chcąc policzyć pole elektryczne na osiach x,y,z wracamy do równania w postaci.

Dla składowej Ez wykorzystaliśmy wzór na pochodną iloczynu dwóch funkcji, oraz skożystaliśmy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, którą w tym przypadku jest promień r.
Należy pamiętać, że te wzory są słuszne dla dużych r w porównaniu z rozmiarami dipola d. To koniec zadania. 

Związek między polem elektrycznym i polem magnetycznym

Kożystamy z drugiego prawa Maxwella w postaci różniczkowej

Zakładamy, że pole magnetyczne B zmienia się cyklicznie, co jest zgodne z prawdą. Zanikowi pola magnetycznego B towarzyszy powstanie pola elektrycznego E i na odwrót. Cykliczność da nam funkcja cos. Możemy więc napisać równanie


Dalej rozpatrujemy przypadek jednowymiarowy, który jest dokładnym obrazem wielu wymiarów.. Przy takim założeniu rotacja wygląda następująco

By otrzymać pole elektryczne E, całkujemy ostatnie równanie po x

Pisząc ten artykół skorzystaliśmy z książki

Jay Orear
Fizyka tom 2
Wydawnictwo Naukowo Techniczne


Drgania rezonansowe układu LC

Mechanizm tych drgań jest następujący. W cewce skutkiem przepływu przez nią zmiennego prądu indukowane jest pole magnetyczne, kiedy prąd zmienia swoją fazę na przeciwną zmianie też ulega natężenie prądu płynącego przez przewodnik, co powoduje sinusoidalne wahania pola magnetycznego. Zanik pola magnetycznego powoduje powstanie pola elektrycznego, które działając na swobodne elektrony w przewodniku, powoduje ich przepływ do kondensatora, który gromadzi je na swoich okładkach, powodując stopniowy wzrost napięcia między jego okładkami. Zakładamy że dopływ prądu z sieci został w tej chwili wyłączony. Całe sedno drgania układu lc polega na tym by tak dobrać pojemność kondensatora by wytwożone pole elektryczne spowodowało wzrost napięcia U do U granicznego. Spowoduje to krutki impuls przepływu prądu, który to znów wytworzy pole magnetyczne, kiedy przepływ prądu ustanie zaniknie też pole magnetyczne co spowoduje powstanie pola elektrycznego, któte znów naładuje kondensator do U granicznego i tak w koło. 

                               Zasada działania Radia

Polega ona na wprowadzeniu układu lc w częstość rezonansową z falą elektromagnetyczną niosącą informacje z nadajnika radiowego.

Składowa elektryczna tej fali powoduje gromadzenie ładunków na okładkach kondensatora aż do U granicznego. Osiąga się to w radiu przez zastosowanie kondensatorów o zmiennej pojemności, dlatego można dostrajać się radio odbiornikiem do różnych częstotliwości. Inaczej mówiąc częstość drgań lc radio odbiornika jest równy częstości drgań fali elektromagnetycznej niosącej informacje

Spróbujmy policzyć tą okres drgań. Dla układu z samą cewką mamy siłe elektromagnetyczną równą

L - jest indukcyjnością cewki. Dobrze przypatrzyć się zdjęciu!!! Przy wyprowadzeniu tej siły kożystamy z prawa Faradaja, które jest aksjomatem więc trzeba to prawo dobrze zapamiętać. Prawo to znajdziecie pod adresem

http://pl.wikipedia.org/wiki/Prawo_indukcji_elektromagnetycznej_Faradaya

Pole magnetyczne B określone jest prawem Ampera. Dobrze znać wyprowadzenie tego prawa a napewno dobrze trzeba to prawo zapamiętać. Wyprowadzenie znajdziecie pod adresem:

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/11/wyprowadzenie-prawa-ampera-prawo-ampera.html?view=timeslide

Można zerknąć, ale to trudny chleb. Najlepiej wspomniane w tym artykule wzory zapamiętać. Tak jest o wiele prościej.
Dla kondensatora siła SEM wynosi

Gdyż tak jak dla pierwszwj definicji pracy W = F*s stąd F = W/s, Więc tak samo dla drugiego rodzaju pracy 

                                     W/q = delta(U)

Jest to bardzo ważne prawo,

Z trzeciego aksjomatu Newtona wynika, żet e dwie siły są równe, gdzie cewka i kondensator są odpowiednio ciałami a i b.

Ponieważ mamy omegę impulsów prądowych podczas wyładowań kondensatora więc mnożąc prawą stronę równania przez 2*pi , czyli pełne koło, otrzymamy okres drgań układu Lc

                          

 dla cewki powietrznej, krągłej pole powierzchni wynosi:

                   deta(s) = pi*r^2*n^2

n - jest liczbą takich okręgów czyli liczbą zwojów

l - zaś całkowitą długością uzwojenia 

Pojemność kondensatora walcowego. 

Ogólny wzór na pojemność kondensatora pokazaliśmy na poniższym zdjęciu.

V - wyliczamy z definicji potencjału.

Rozwiązujemy  równanie, przy czym zauważymy, że r^2 = h*r, gdzie h jest wysokością kondensatora. a r jego promieniem.

Mamy więc wyznaczone Q i V. wystarczy teraz podstawić te wielkości do wzoru na pojemność kondensatora.

 r1 - promień od środka kondensatora do pierwszej okładki kondensatora.

r2 - promień od środka kondensatora do drugiej okładki kondensatora.