Wszechmocny jest doskonale zły!!!!. W tej sytuacji nie wiedza jest rajem a wiedza piekłem. Zastanów się dobrze, czy jego wolą jest, Byś się uczył. Przemyśl to dobrze i zdecyduj czy chcesz wystąpić przeciwko niemu, swoją nauką wbrew jego woli. Pewne jest, że są Ludzie, którym pozwolił się uczyć do pewnych granic. Przemyśl to dobrze, za nim zaczniesz czytać poniższy artykuł.

Wstęp

Prawa aksjomatyczne to prawa, które niepodlegają dowodzeniu. Wobec tego prawa te należy nauczyć się na pamięć. Mówiąc dosadnie wkuć je tak by umieć w nocy o północy, by zapadły w pod świadomość. Bez zapamiętania tych aksjomatów droga do matematyki i innych przedmiotów ścisłych jest zamknięta. Do kompletu należy jeszcze zapamiętać wzory na upraszczanie skomplikowanych funkcji, które znajdziecie tutaj

http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/05/szereg-maclarena-furiera-podstawowe.html

i można zgłębiać tajniki matematyki wyższej.

Aksjomaty systemów liczbowych

Chcąc nauczyć się matematyki od podstaw, nie zbędne jest zrozumienie czym są systemy liczbowe inaczej zwane całościami liczbowymi.
Systemy liczbowe, to całości zamkniętych w sobie ciągów różnych znaków i tak:
- System dziesiętny to zbiór dziesięciu różnych znaków. Oto one:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

To dziesięć znaków, reprezentujących sobą liczbę elementów, np. materialnych.
Kolejne liczby systemu dziesiętnego to kolejne kombinacje tych znaków połączone razem. I tak kolejna liczba po liczbie 9, to jedna liczba złóżona z dwóch podstawowych znaków tego systemu 1 i 0. Pisdzemy ją 10. Zauważmy, że po przejściu całości podstawowej liczba 1 wskoczyła na pierwsze miejsce a liczba 0 na drugie. Kolejną liczbą systemu dziesiętnego jest liczba 11 i kolejną 12 , 13, 14...itp. Po przejściu całości podstawowej, której końcową liczbą jest liczba 19, liczba podstawowa 2 wskakuje na pierwsze miejsce a za drugie liczby podstawiamy kolejno podstawowe znaki od 0 do 9. I tak kolejną liczbą po liczbie 19 jest liczba 20 i kolejna to 21, 22, 23, 24....itp.
W zastosowaniu są jeszcze dwa systemy liczbowe :
- binarny złożony z dwóch znaków podstawowych - 0,1
- Hexagonalny czyli szesnastkowy, złożony z szesnastu znaków podstawowych 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.

Stosuje się te dwa ostatnie systemy, w technice komputerowej.

Aksjomaty dzielenia od podstaw.

Weźmy pod uwagę następujący przykład.

Liczba 3 oznacza całość, którą dzielimy przez całość 2. Inaczej mówiąc , zadajemy sobie pytanie:
Ile razy całość 2 zmieści się w całości 3 - ój elementowej?
Widać, że dwa elementy w trzech elementach mieszczą się raz, pokrywają się w zbiorze trój elementowym Pozostaje jednak reszta w postaci jedynki, którą dwa elementy nie pokryły.. W tej jedynce dwójka, jako całość mieści się zero razy. Czyli w całości 3,dwójka mieści się jeden raz w całości i w ułamku, czyli po przecinku na kolejnych miejscach dziesiętnych, stanowiących liczby mniejsze od jeden. Miejsca dziesiętne, czyli ułamki całości, obliczamy przez dzielenie w słupku. Przyjęto następujący zapis takiego dzielenia.

Jak wspomnieliśmy dwójka w trójce mieści się jeden raz, więc u góry piszemy jedynkę

Następnie tę jedynkę mnożymy spowrotem przez dwa, a wynik piszemypod trójką.

Następnym krokiem jest odjęcie dwójki od trójki, a wynik piszemy pod kreską. Zauważcie, że zostaje reszta w postaci jedynki, czyli zostaje liczba, w której dwójka mieści sie mniej niż jeden raz.

W jedynce, dwójka jako całość, nie mieści się ani raz, więc mnożymy jedykę pod kreską,przez dziesięć, to znaczy przez całość systemu liczbowego dziesiętnego a u góry po jedynce stawiamy przecinek, czyli miejsce dziesiętne, które oznacza liczby mniejsze od jeden.

Teraz liczba pod kreską 10 stanowi całość a dwójka mieści się w niej pięć razy bez reszty, więc liczbę 5 piszemy u góry po przecinku.

Następnie znów piątkę mnożymy przez dwójkę i wynik piszemy pod dziesiątką, następnie znowuż te dwie liczby odejmujemy od siebie.

Z odejmowania wyszło nam zero, czyli brak reszty, w której dwójka mogła by się mieści, na kolejnych miejscach po przecinku.

Otrzymaliśmy więc wynik skończony.

Dwójka w trójce mieści się 1,5 ray.

Przykład

Ile razy piątka mieści się w jedynce?

W tym przypadku piątka w jedynce mieści się zero razy w całości i dwie dziesiąte razy.

Aksjomat mnożenia.

Tabliczki mnożenia bardzo łatwo się nauczyć wiedząc, że

Liczba z przodu oznacza liczbę sumowanych liczb z tyłu.

Stanowi to dowód, że mnożenie jest przemienne, to znaczy równe sobie. Gdy mamy jednakowe liczby ułamkowe wtedy stosujemy tą samą zasadę.

Mamy wspulny mianownik więc sumujemy tylko liczniki.Gdy mamy sumę różnych ułamków np:

Wtedy stosujemy wzór krzyżowy sprowadzania do wspólnego mianownika.

To cała filozofia, prosta i potężna.

Podstawowy aksjomat sprowadzania do wspólnego mianownika. Wzór krzyżowy.

Zawsze zaczynamy od tyłu. Koniecznie pierwsze mnożenie musi być a*d. Przy sumie ułamków to nie ma znaczenia, jednak przy różnicy ułamków, tylko w ten sposób otrzymamy poprawny wynik.

To newralgiczny aksjomat, bez nie znając tego aksjomatu nie można wykonać najprostszych operacji dodawania i odejmowania ułamków.

Aksjomat dzielenia ułamka przez ułamek

Podzielić ułamek przez ułamek to to samo co pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego.

Przykład

To naszym zdaniem najważniejszy aksjomat. Bez niego nie można by było upraszczać równań. Nie można też by było w większości przypadków wyliczać niewiadomych z tych równań

Aksjomaty działań na równaniach

Na równaniach możemy wykonywać następujące operacje

Przenosić całe wyrażenia lub liczby pojedyncze z jednej strony na drugą ze zmienionym znakiem

Przykład przeprowadzimy na samych liczbach. Rozpatrzmy takie równanie

2+2 = 4

Jest ono prawdziwe, gdyż lewa strona równa się prawej. Przenieśmy teraz zgodnie z tą zasadą dwójkę na prawą stronę

2 = 4 - 2

2 = 2

Po takiej operacji też otrzymaliśmy prawdziwe równanie, prawa strona równa się lewej

Obustronnie mnożyć równanie przez tą samą liczbę

Obustronnie dzielić równanie przez tą samą liczbę

Obustronnie podnosić równanie do tej samej potęgi

Wyciągać przed nawias wspólny czynnik Np.

2*x^2 -3*x = 5

Wspólnym czynnikiem jest x wtedy

x*(2*x - 3) = 2

Po wymnożeniu nawiasu otrzymamy poprzednią postać równania,

Czyli dokonaliśmy operacji upraszczającej to równanie a nie zmieniającej. Mnożąc z powrotem x przez nawias otrzymamy wyjściowe równanie.

Obustronnie logarytmować równanie przez ten sam logarytm

Przykłady.

Dowód.

W tym przykładzie dodaliśmy i jednocześnie odjęliśmy y/x. Wykorzystaliśmy aksjomat wzoru krzyżowego.

Oraz aksjomat wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, którym w podanym przykładzie jest x.

W paru słowach płęta. Możemy wykonywać na równaniach takie działania by równanie którego lewa strona równała się prawej ( w przeciwnym przypadku równanie jest fałszywe np. da wynik 2 =3 co jest widoczną nieprawdą), po zadziałaniu na niego w wyżej opisany sposób dalej było prawdziwe, to znaczy by dało wynik np. 2 =2. Trzeba przede wszystkim nauczyć się tych aksjomatów, gdyż gwarantują one prawdziwość równań, przed i po operacji na nich

Przykład.

Załóżmy, że mamy równanie

i z tego równania chcemy wyznaczyć x. Wtedy x - sy przenosimy na jedną stronę a wiadome na drugą, pamiętając o aksjomacie zmiany znaków.

Następnie kożystamy z aksjomatu dzielenia obustronnego równań.

Aksjomaty potęg.

Aksjomaty układu równań

Układ równań to opis matematyczny zjawiska fizycznego lub matematycznego za pomocą dwóch lub większej ilości równań dotyczących tego samego zjawiska.

Równania, które opisują jedno zjawisko możemy:
1) dodawać do siebie,
2) dzielić przez siebie,
3) mnożyć stronami
4) odejmować te same strony,
5) wyznaczać wielkość z jednego równania i podstawiać do drugiego,
6) wreszcie przyrównywać do siebie.

Układy równań to prawdziwa potęga w matematyce chemii i fizyce, bez nich z całą pewnością niebyło by takiego rozwoju technologicznego.

Na przykład w fizyce:

Taką samą wartością tego układu równań jest Ek. Istotą karzdego układu równań jest prawdziwość poszczególnych równań, to znaczy, że lewa strona tych równań równa się prawej stronie. Są to dwie takie same energie kinetyczne wyrażone za pomocą innych wielkości. Mając dwie nie widome i dwa równania, możemy te niewiadome wyznaczyć. Dobra pamięć czyni z kogoś matematyka i fizyka, jak też odrobina inteligencji. Jednak dobra pamięć jest decydująca. Znajomość aksjomatów, o których mowa w tym artykule, jest niezbędna dla każdego, jednak trudno wymagać od wszystkich by znali wszystkie równania wynikające z aksjomatów, po przez właśnie opisywany układ równań. Dla przykładu. Jeżeli w wyżej wymienionym układzie równań są niewiadomymi masa fotonu i jego częstotliwość a chcemy te niewiadome wyznaczyć za pomocą wielkości wiadomych, potrzebne nam jest trzecie równanie wiążące. W tym celu sięgamy do pamięci lub książek i wkońcu znajdujemy prawo aksjomatyczne falowe dotyczące fotonów.

Lambda - długość fali świetlnej, którą znamy i dodatkowo dowiemy się, że prędkość fotonów jest stała i równa prędkości światła C. vf = C. Nasz układ równań wygląda następująco:

Trzecie równanie oznaczyliśmy gwiazdką gdyż z niego wyliczamy częstotliwość fotonów, stosując aksjomaty działań na równaniach. Obydwie strony równania dzielimy przez długość fali lambda. Tak otrzymaną częstotliwość podstawiamy do drugiego równania. Równań nie usuwamy z układu równań lecz dalej je piszemy. Wygląda to następująco:

Mamy trzy równania i dwie niewiadome, możemy więc te nie wiadome wyznaczyć. Dwa pierwsze równania równe są energii kinetycznej fotonu a ponieważ te wzory opisują ten sam foton więc muszą być równe. Przyrównujemy więc dwa pierwsze równania stronami, co przekształci nasz układ równań do postaci.

Pierwsze równanie rozwiązujemy względem masy fotonu, stosując aksjomaty działań na równaniach. Krok po kroku pokazujemy to niżej.

W ten sposób osiągnęliśmy część zadania. Wyraziliśmy masę fotonu za pomocą stałych i długości fali znanej.

Teraz wracamy do ostatniego układu równań i trzecie równanie rozwiązujemy względem częstotliwości, otrzymując.

Osiągneliśmy więc postawiony przed sobą cel. Wyznaczyliśmy masę fotonu i jego częstotliwość za pomocą znanych wielkości.

Stałą Planca (h) bez problemu znajdziecie w internecie, jak i wartość prędkośći światła Vf. Długości fali świetlnej Lambda, też bez problemu znajdziecie w internecie i odrazu dowiecie się, że o kolorze światła decyduje jego długość fali.

Aksjomaty funkcji trygonometrycznych.

Są to wprowadzone wielkości opisujące trójkąt, które potwierdzono po przez umowę rególy. Piąty wzór, otrzymano doświadczalnie.

To że suma kwadratów sinusa i kosinusa równa jest jeden, wielokrotnie potwierdzono doświadczalnie i takie doświadczenie każdy sam może sobie przeprowadzić mierząc trójkąty o różnych bokach b i a.

Twierdzenie Pitagorasa

Mając tyle równań możemy teraz pobawić się ich kombinacjami. Mianowicie możemy utworzyć następujący układ równań. Można tworzyć inne układy równań, jednak ten doprowadzi nas do twierdzenia Pitagorasa.

Zgodnie z opisaną wyżej teorią układów równań, podstawiamy wielkości opisujące sinus i cosinus do jedynki trygonometrycznej.

Mając tak udowodnione równania, można przeprowadzać na nich kolejne kombinacje. Pokażemy tu jedną.

Wyrazimy sinus za pomocą tangensa.

gdzie wzór na tg(alfa) podzieliliśmy przez C. Wolno nam tak uczynić gdyż nie zmieniliśmy tą operacją sensu równania.

Dowód.

Pierwsze równanie rozwiązujemy względem cosinusa i podstawiamy do drugiego. Następnie z tak przekształconego drugiego równania wyznaczamy sinus. To kończy postawione przed nami zadanie. Przyda się to w dalszej części artykułu, gdzie będziemy omawiać aksjomat pochodnej funkcji.

Następnie tg przenosimy na prawą stronę równania ze zmienionym znakiem a sinus jako wspólny czynnik wyciągamy przed nawias. Dalej rachunek wygląda następująco.

Dalej rachunek wygląda następująco.

ASJOMATY DZIAŁAŃ NA WEKTORACH.

Podaliśmy tu wzory na sumę iloczyn długość sinus konta alfa i kosinus między wektorami. Zwróćcie uwagę, że twierdzenie Pitagorasa wynikające z jedynki trygonomrtrycznej, jest tutaj kluczowe.
Jeżeli mamy wektory o współrzędnych

To długości tych wektorów wynikają z twierdzenia Pitagorasa i wyrażają się wzorami.

A Długość sumy i iloczynu tych wektorów wyraża się wzorami.

Szczegulnie zapamiętajcie sobie aksjomat wartości iloczynu wektorów. To klucz do zrozumienia rachunku operatorów różniczkowych i pojęcia Divergencji.

Wzory na sinus i kosinus między dwoma wektorami

Twierdzenie kosinusów

Dotyczy ono sytuacji gdy mamy wektoryskierowana na przeciw siebie. Zachodzi wtedy równość

c = a-b

Stąd c^2

Koniecznie musi być spełniony warunek c = a-b!!!!!!!!!!!!!!!!!

Jeżeli nie jest nie wolno stosować tego wzoru.

Można skożystać z tych aksjomatów by wyprowadzić ogólne i kierunkowe równanie prostej. Wyprowadzenie to znajdziecie pod adresem:

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-tajemnicza-matematyka.html

Aksjomaty logarytmów.

Logarytm jest odwrotnością funkcji

c= a^b

wprowadzono więc na tej podstawie funkcję zwaną logarytmem, taką, że

b = loga(c)

funkcja o podstawie e, która jest liczbą równą

e = 2,718,,,,,

Występuje tak często w matematyce, że nadano jej specjalny symbol

loge = ln

Liczby a i e nazywamy podstawą logarytmu.

Poniższe zdjęcie pokazuje opracje na logarytmach, ich tożsamości i jak wyżej wspomnieliśmy trzeba nauczyć się ich na pamięć

Po przez ln występujący na zdjęciu rozumiemy log o podstawie a i b, Zrobiliśmy to po to by się przyzwyczaić do oznaczenia ln jest to wyjątkowy logarytm po przez bardzo częste występowanie.

Znając te aksjomaty możemy udowodnić działania na potęgach.

Logarytmujemy obydwie strony równania logarytmem o podstawie równej podstawie funkcji wykładniczej. Dalej stosujemy inny aksjomat logarytmów. Przypatrzcie się zdjęciu z tymi aksjomatami.

Widać też, że to równanie jest sprzeczne. Po przeniesieniu x na lewą stronę ze zmienionym znakiem otrzymamy 0 = 1 co jest fałszem. Więc wyjściowe równanie jes fałszywe. Cenny przykład. Nie każde równanie musi mbyć prawdziwe.

Wniosek.

Gdy may równe podstawy funkcji potęgowych, wtedy podstwy te możemy opuścić.

Aksjomaty liczb zespolonych.

Wprowadzono do matematyki specjalną liczbę, którą nazwano liczbą zespoloną. Liczba ta składa się z dwóch części:

- rzeczywistej = a

- urojonej = i*b

Są to aksjomaty, gdzie dodatkowo wprowadza się liczbę urojoną (i), która podniesiona do kwadratu daje -1. We wszystkich pozostałych przypadkach ujemna liczba podniesiona do kwadratu daje liczbę dodatnią.

Sama liczba (i) nie ma wartości liczbowej, dopiero jej kwadrat daje -1. Część liczby zespolonej, w których występuje (i), nazywamy częścią urojoną i nie bierzemy jej pod uwagę, jednak zostawiamy tą część, gdyż w dalszych podstawieniach, do innych wzorów (i) może wystąpić w kwadracie, co da jej wartość -1. To oznacza, że przy dalszych podstawieniach część urojona liczby zespolonej może stać się jej częścią rzeczywistą . Na przykład załóżmy, że w jednym z rozwiązań wyszło nam

r = i*x - tylko część urojona

i may to podstawić do równania

y = r^2

To korzystamy z faktu, że karzda liczba ma swoją reprezentację w dziedzinie liczb rzeczywistych i urojonych. Bierzemy w tym celu samo x i przedstawiamy je za pomocą liczby zespolonej. Sposób pokazaliśmy niżej. Tak wyliczone x wraz z częścią rzeczywistą i urojoną liczby x wstawiamy do poniższego równania. Całe równanie zachowujemy do dalszych podstawień a jeżeli poniższe równanie kończy nasze zadanie to oczywiście w rzeczywistości istnieje tylko część rzeczywista uzyskanej liczby. Części rzeczywistej i urojonej nie sumujemy gdyż da nam to błędny wynik. Część urojona jak sama nazwa wskazuje nieistnieje.

Liczbie zespolonej nadano symbol Z i aksjomatycznie określono równaniem:

Z = a + i*b

Została wprowadzona aksjomatycznie, gdyż zaobserwowano w przyrodzie zjawiska, które można opisać tylko za pomocą takiej liczby. Znak minus wprowadzono po to by uzyskać płaszczyznę zespoloną po przez wprowadzenie liczby sprzężonej do liczby zespolonej, której nadano symbol i sens taki jak niżej

Z* = a - i*b

Też została ona wprowadzona aksjomatycznie

Łatwo sprawdzić, że iloczyn liczby zespolonej i liczby do niej sprzężonej daje twierdzenie Pitagorasa, przez co otrzymujemy płaszczyznę zespoloną i jej promień

Z x Z* = a^2 + b^2 = R^2

Taki iloczyn wstawiony pod pierwiastek jest promieniem na płaszczyźnie zespolonej, nazywany w takim przypadku modułem liczby zespolonej.

Na osi y zaznaczamy a , zaś na osi x zaznaczamy i*b, tak jak pokazaliśmy na poniższym zdjęciu.

Kolejnym wzorem wprowadzonym aksjomatycznie dla liczb zespolonych jest wzór de Moivre"a pokazany niżej.

Pamiętajcie, że i^2 = -1 Jest to najprawdopodobniej aksjomat, trzeba nauczyć się go na pamięć. Ogólnie ten wzór wygląda następująco

Twierdzenie de Moivre"a

Twierdzenie Istneje dokładnie n pierwiastków liczby wstawionej pod pierwiastek stopnia n, i wyrażają się one wzorem:

Należy jeszcze dodać, że moduł liczby zespolonej jest zawsze podniesiony do kwadratu więc jest zawsze dodatni.

Powyższy wzór jest książkowy, jednak my mamy co do niego wątpliwości. Jeżeli pod pierwiastkiem mamy ujemną siłę to rozwiązaniem powinna być siła, więc modół liczby zespolonej powinien być podniesiony do potęgi 1/2. Natomiast zmienna n w wykładniku liczby e jest prawdopodobnie dobrze wprowadzona.

Wzory Eulera.

Powstają przez wynikanie. Wyprowadzenie znajdziecie pod adresem

https://pl.wikipedia.org/wiki/Wz%C3%B3r_Eulera

Zadanie 1

Wyliczyć pierwiastki liczby -1 podniesionej do potęgi jednej drugiej, oraz część rzeczywistą i urojoną.

Zgodnie z podanymi wyżej wzorami, istnieją jeszcze dwa rozwiązania pierwiastka kwadratowego z liczby minus jeden a mianowicie.

By wyznaczyć część rzeczywistą i urojoną liczby minus jeden, kożystamy z twierdzenia de Morve"a

Re - real - część rzeczywista. = a
IM - image - część urojona. = i*b

W tym przykładzie n =2 więc istnieją dwa rozwiązania.

Zadanie 2
Policzyć pierwiastki liczby zespolonej Z danej wzorem na poniższym zdjęciu, oraz jej część rzeczywistą oraz urojoną. Korzystamy z twierdzenia de More"a. Liczba Z* jest w nawiasie w potędze pierwszej tym samym nie jest wstawiona pdd pierwiastek. Niema więc potrzeby stosować drugiej części twierdzenia de More"a.

W tym przykładzie n =1 więc istnieje tylko jedno rozwiązanie liczby Z, jednak jest ona w kwadracie więc istnieje tym samym drugie rozwiązanie po prostu o przeciwnym znaku. Pamiętajcie, że i^2 = -1.
Kożystając z twierdzenia de Moivre"a można to równanie przedstawić w innej równoważnej postaci

czyli cos(x) = (Cos(2*x))^(0,5) a może nie, sami sprawdźcie. Tylko nie kożystajcie z exela i open ofice, te programy podają błędne wyniki.
Wniosek
Karzda liczba ma swoją reprezentację w dziedzinie liczb rzeczywistych i urojonych. Tym samym liczby rzeczywiste są podzbiorem liczb zespolonych.

Aksjomat pochodnej funkcji

Jak sama nazwa wskazuje jest czegoś różnicą, a iloraz inaczej nazywamy dzieleniem.

Ta różnica to różnica dowolnej funkcji po dodaniu do niej bardzo małego przyrostu i przed dodaniem do niej tego przyrostu.

Pokażemy to na przykładzie funkcji kwadratowej, którą przedstawiliśmy na poniższym rysunku.

Otóż gdy zmierzamy z delta x do zera wtedy i zmiana funkcji delta f(x).

zmierza do zera. Patrz na poniższy rysunek.

Jednak iloraz różnicowy zmierza do pewnej wartości granicznej. Delta f(x) bliskie zeru jednak i delta x bliska zeru. f1 i f2 są wektorami, więc delta czyli róznica funkcji f(x) powstaje po przez odjęcie tych wektorów.

Jest to właśnie definicja pochodnej, którą zapisujemy dwoma symbolami.

Jak tą definicję stosować? Pokarzemy to na przykładzie funkcji kwadratowej

Przkształcamy ostatnie równanie do postaci przedstawionej niżej i do tak uproszczonego równania wstawiamy za delta x liczbę zero, czyli granicę.

Więc pochodna funkcji kwadratowej wygląda następująco

Po wstawieniu granicy limesa już niepiszemy, stąd ten bochomaz u góry, też się mylimy. Zauważmy, że pochodną funkcji kwadratowej jest równanie prostej.

Tak więc aksjomatami pochodnei i różniczki są wzory:

Zauważmy, że tangensy są pochodnymi funkcji liniowej przedstawiającej wektory a i b i nie tylko liniowej lecz wszystkich funkcji. W ten sposób otrzymujemy wzór na cosinus konta między dwiema dowolnymi funkcjami. Z wyprowadzeniem sinusa sami już sobie poradzicie. Ogólny zapis wygląda następująco

Wyprowadzenie wzoru na cosinus różnicy kątów znajdziecie pod adresem:

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/udowodnimy-tutaj-ze-cosalfa-beta.html

Pochodna ze stałej.

Wykresem funkcji stałej jest linia prosta równoległa do osi x. Tym samym po dodaniu do funkcji f(a) delta x otrzymamy dalej tą samą funkcję. Pokazaliśmy to na poniższym zdjęciu. Po podstawieniu tego do definicji pochodnej otrzymamy pochodną ze stałej równą zero.

Pochodna funkcji typu x^n.

Podstawiając kolejne n i podstawiając takie funkcje do wzoru na pochodną funkcji, bardzo łatwo zauważymy, że ogólnym wzorem na pochodną tego typu funkcji jest wzór.

Pochodna funkcji logarytmicznej.

Jest w rachunku różniczkowym kluczowy wzór na pochodną logarytmu naturalnego. Bardzo ciężko go udowodnić więc lepiej dobrze zapamiętać ten wzór.

Ogólnie wzór na pochodną dowolnego logarytmu wygląda następująco.

Chcąc sprawnie różniczkować trzeba ten wzór dobrze zapamiętać. Można go udowodnić podstawiając dowolny logarytm do definicji pochodnej.
Zrobimy to teraz.

Pochodna iloczynu funkcji.

Udowodnimy teraz czemu równa jest pochodna iloczynu funkcji typu

Y = f(x)*g(x)

Dowód logiczny

Dodamy jeszcze, że stu procentowy dowód logiczny nie stanowi ogólnego dowodu, gdyż samą logiką możemy zawędrować w ślepy zaułek. ogólny dowód to dowód logiczny + doświadczalny

Więcej takich wyprowadzeń wzorów znajdziecie tutaj

http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012_05_01_archive.html

Są bardziej skomplikowane , a ten artykuł przeznaczony jest przecież dla początkujących dlatego umieściliśmy go osobno.

Pochodna funkcji złożonej
Stosując powyższy ciąg logiczny można uzyskać wzór na pochodną funkcji złożonej. Funkcja złożona składa się z dwóch funkcji zależnych od siebie. Wzór na jej pochodną jest bardzo prosty i przyjemny, więc łatwo zapada w pamięć. Oto dwa przykłady

Pochodna funkcji złożonej równa się pochodnej funkcji zewnętrznej razy pochodna funkcji wewnętrznej. To pierwszy wzór na powyższym zdjęciu. Pochodna funkcji potęgowej Funkcja potęgową i jej pochodną przedstawia poniższe zdjęcie. To też bardzo przyjazny wzór dla pamięci

Pochodna funkcji wykładniczej Wzór wraz z przykładem zamieszczamy na poniższym zdjęciu.

Pochodna funkcji uwikłanej

Wzór jest skomplikowany ale trudno. Niżej podajemy przykład zastosowania.

Dowód pochodnej z cosinusa.

Dowód wzoru na cosinus sumy kątów znajdziecie pod adresem:
http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/udowodnimy-tutaj-ze-cosalfa-beta.html?view=timeslide

Przykład zastosowania różniczki

Załóżmy, że mamy urządzenie o czułości + - delta(x) i robimy nim pomiary, które ułożyły nam się na wykresie w postaci funkcji

Wtedy błąd wynosi

Podstawiając za x wartość jakiegoś pomiaru np. x = 1 a za delta(x) np. delta(x)= 0,01 otrzymujemy maksymalny błąd pomiaru dla wartości jeden, co zapisujemy

Ostatecznie obarczenie błędem każdego towaru dane jest wzorem.

Pochodne drugiego i n -teg stopnia

Interpretacja geometryczna pochodnej

Ta interpretacja jest tak prosta, że czytelnicy mogą czuć się zawiedzeni. Otóż z trygonometrii wiadomo, że delta(y)/delta(x) jest definicją tg(afa), a dodając granicę jak wyżej przedstawiono otrzymujemy pochodną w punkcie. Tak więc dochodzimy do bardzo ważnego i potężnego wniosku

Pochodna funkcji f(x) = tg(alfa)

Jest to tangens kąta nachylenia funkcji w tym przypadku paraboli, do osi x. Maksimum lub minimum funkcji jest nachylone pod kątem takim, że tg(alfa) = 0.
Wystarczy więc pochodną przyrównać do zera, wyliczyć miejsca zerowe tej pochodnej, po czym podstawić je do równania kwadratowego i już mamy extremum funkcji kwadratowej, które w zależności od znaku stałej a jest maksimum bądz minimum równania kwadratowego. Z funkcji podniesionej do trzeciej potęgi, otrzymujemy pochodną w postaci równania kwadratowego, któremu towarzyszą dwa miejsca zerowe. Podstawiając je spowrotem do wielomianu trzeciego stopnia otrzymujemy dwa ekstrema, z któtych jedno jest minimum wielomianu trzeciego stopnia, a drugie jej maksimum. Więcej znajdziecie klikając na poniższe linki

http://www.deszynski.pl/s14/Uznanska/index.html

Jak potężny to wniosek pokażemy to teraz. Załóżmy, że chcemy policzyć minimalny promień cewki przy budowie układu LC. Wzór na L - indukcyjność cewki znajdziecie tutaj

http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/03/prawa-naturalne-fizyka-w-piguce-dla.html

Zakładamy, że mamy ustaloną długość L cewki i nie zmieniamy pojemności kondensatora C. Chcemy policzyć maksymalną indukcyjność cewki przy minimalnym polu cewki. Występuje tam pole powierzchni cewki które równa się pi*r^2, więc mamy równanie kwadratowe reszta jest stałymi. Ponieważ pochodna funkcji względem promienia r cewki, jest tangensem konta alfa (patrz na rysunek pod pierwszym linkiem), więc maksimum i minimum występuje wtedy gdy, pochodna względem (r), jest równa zero. Przyrównujemy więc pochodną funkcji r do zera, po czym wyliczamy, z otrzymanego wzoru r, po czym tak otrzymane r wstawiamy spowrotem do równania wyjściowego otrzymując w ten sposób maksymalną indukcyjność cewki przy minimalnym bądź maksymalnym promieniu cewki. Należy zwrócić uwagę na to, że otrzymamy kilka rozwiązań, np dla równania kwadratowego jeden promień z pochodnej i w zależności od znaku równania kwadratowego, jest to minimum lub maksimum równania kwadratowego. W przyszłości opiszemy tutaj rozwiązania równań różniczkowych pierwszego i drugiego rzędu.

Granice i asymptoty funkcji

Twierdzenie de L"Hospitala (Delopitala)

Jeżeli istnieje granica ilorazu pochodnych dwóch funkcji, to istnieje też granica ilorazu pochodnych tych funkcji i te granice są sobie równe. Co zapisujemy

Nie możemy nigdzie zdobyć dowodu go twierdzenia więc trzeba potraktować go aksjomatycznie i nauczyć się na pamięć. To bardzo potężne twierdzenie oto parę przykładów:

Pamiętajmy, że zero dzielone zero ma nieokreśloną granicę. Co prawda sin(x) i x zmierzają do zera, jednak bardzo mała liczba podzielona przez bardzo małą liczbę może dać skończoną granicę różną od zera.

Dalej zajmiemy się równaniami, które przedstawiają sobą symbole nieskończoności i zera. Cała sztuka polega na tym by doprowadzić je do stanu, który pozwoli nam zastosować twierdzenie de Hospitala

Drugi przykład

Następny typ symboli

Przykład

Widać wyraźnie, że konwencja jest prosta. Przekształcamy tak równania, z których loczymy granicę by otrzymać dzielenie tych funkcji, co z kolei pozwala zastosować twierdzenie de Hospitala.

Jest jeszcze jeden typ symboli granic pokazany na poniższym zdjęciu. Mając takie symbole logarytmujemy dane równanie. Kiedy wyjdzie nam już granica, zadajemy równanie odwrotne, to znaczy pytamy - Logarytm z jakiej liczby da nam otrzymaną granicę. Ta liczba jest wtedy szukaną granicą

gdyż logarytm z jeden równa się zero.Logarytm z granicy równa się zero, więc granica równa się jeden.

Asymptoty pionowe i ukośne funkcji

Rozpatrzmy funkcję taką jak pokazano na zdjęciu poniżej

Asymptoty to proste do których zmierza funkcja w nieskończoności. Gdy x zmierza do 2 wtedy wyrażenie w nawiasie zmierza do zera, a tym samym cała funkcja zmierza do nieskończoności. Ponieważ w nawiasie występuje równanie kwadratowe więc cała funkcja zmierza też do nieskończoności dla liczby -2, gdyż kwadrat liczby ujemnej daje liczbę dodatnią. May więc tym samym określone dwie proste, stanowiące asymptoty pionowe dla powyższej funkcji. A dzielenie liczby przez liczbę bliską zeru to to samo co pomnożyć pierwszą liczbę przez odwrotność tej drugiej małej. Liczba bliska zeru jes przecież ułamkiem. Jeszcze raz powturzymy aksjomat. Podzielić ułamek przez ułamek to to samo co pomnożyć pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego. Więcej znajdziecie tutaj http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/05/prawa-aksjomatyczne-logarytmow-dziaania.html

Asymptoty ukośne
Te wyznaczamy z twierdzenia, którego trzeba nauczyć się na pamięć. Oto to twierdzenie:
Asymptota ukośna lewo i prawo stronna, jest to prosta o równaniu

Gdzie (m) oraz (k) wyznaczamy z równań:

Przy czym wyznaczamy dwa rozje (k) badając osobno granice dla plus i minus nieskończoności.
Dalej badamy powyższą funkcję

Tu nie było konieczne zastosowane twierdzenia Delopitala, jednak

bardzo często korzysta się z niego przy wyznaczaniu asymptot.

Mają (m) podstawiamy je do drugiego wzoru

Pamiętamy, że funkcja zmierza do każdej z trzech wyznaczonych asymptot. Nanosząc je na wykres logicznie kombinując do logicznej całości, otrzymamy następujący wykres tej funkcji

Zawsze badamy funkcje w jej szczególnych punktach, tutaj są to +2 i -2 z prawej i z lewej strony z osobna dla każdej z tych liczb i pamiętamy, że asymptoty funkcji to proste do , których ta funkcja zmierza w nieskończoności.

W zerze funkcja ma punkt przegięcia. To znaczy zmienia swoją krzywiznę z + na przecwną -.

Wykresy funkcji można rysować jeszcze dokładniej. Sposób ten opiszemy poniżej.

Przebieg zmienności funkcji
Schemat

1) Analiza funkcji

a) Miejsca zerowe funkcji
b) Dziedzina funkcji
c) Szczególne własności takie jak parzystość i nieparzystość
d) Granice funkcji na końcah przedziałów
e) Asymptoty funkcji

2) Analiza pierwszej pochodnej funkcji

a) Miejsca zerowe pierwszej pochodnej funkcji
b) Przedziały monotoniczności pierwszej pochodnej to znaczy, w którym przedziale jest rosnąca a, w którym malejąca
c) Wyznaczenie miejsc zerowych pierwszej pochodnej informujących o maksimach i minimach funkcji

3) Analiza drugiej pochodnej funkcji

a) Miejsca zerowe
b) Znak drugiej pochodnej funkcji informujący, w któryym przedziale funkcja jest wklęsła a, w którym wypukła
c) Miejsca zerowe drugiej pochodnej informujące o punktach przegięcia funkcji

4) Tabela i wykres

Aksjomat Rachunku całkowego.

Rachunek całkowy to sztuka liczenia pól zawartych pod wykresem funkcji. Dla funkcji liniowej sztuka jest prosta, patrz wykres poniżej.

Jeżeli mamy policzyć pole pod wykresem to widzimy, że wypadkowe pole jest równe sumie pól.

Pola P1, P2 i P3 policzymy tym dokładniej im mniejsze jest delta x. Tym samym suma tych pół będzie dokładniejsza. Przechodząc do bardzo małych granicznych delta x, otrzymamy dokładne pole pod wykresem funkcji.

Taką to wielkość matematycy nazwali całką i nadali jej specjalny symbol

Jest to właśnie aksjomatyczny wzór całki

Jak wspomnieliśmy, sposoby liczenia pól pod wykresami to sztuka i to trudna, jednak dla funkcji pokazanej na wykresie sprawa jest prosta, mianowicie stosujemy wzór na pole prostokąta i dzielimy go przez pół.

Tak więc całka tej funkcji wynosi:

Możemy teraz dodać dowolną stałą początkową, która też jest polem i ostatecznie otrzymujemy:

Sytuacja była by beznadziejna, gdy by nie fakt, że jak się zachwilę przkonamy całka jest odwrotnością pochodnej. . Z podanego wyżej aksjomatycznego wzoru na całkę w rzaden sposób nie wynika sposób, na liczenie skomplikowanych pól pod wykresami dowolnych funkcji.

Pierwszy dowód, że całkowanie jest odwrotnością różniczkowania.

A by przeprowadzić taki dowód, zróżniczkujemy otrzymaną funkcję, otrzymaną z całkowania, po iksie. Jeżeli nasza teza jest słuszna to po tej operacji z powrotem powinniśmy otrzymać funkcję liniową, którą to całkowaliśmy.

Co kończy dowód. Pochodna ze stałej równa się zero. Dlatego do całki koniecznie trzeba dodać stałą C.

Drugi dowód, że całkowanie jest odwrotnością różniczkowania.

Sporządzimy sobie wykres funkcji liniowej taki jak poniżej, a pola P1 i P2 dzielimy na nieskończenie wiele mniejszych pól.

Pole P2 i P1 tam zaznaczone możemy zapisać w postaci ich różnicy. Tak też otrzymamy prawdziwy wzór na wypadkowe pole.

Dalej obydwie strony wciągamy pod znak sumy, by otrzymać pole.

Zauważmy sedno tego dowodu zakreślone na powyższym zdjęciu. Otuż suma iloczynu pochodnej funkcji i bardzo małych przyrostów daje nam funkcję f(x). Jednak mamy drugą identyczną sumę, czyli pytamy, pochodna jakiej funkcii da mi zpowrotem funkcję f(x). Pochodna naszej funkcji równa się a, a suma iloczynu punktów a i towarzyszących im wartości d(x) da nam pole funkcji f(x) = a*x. Stałą a wyciągamy przed sumę a suma d(x) da nam zmienną x. To właśnie dowód, że całka jest odwrotnością różniczkowania funkcję. Dalej pytamy, pochodna jakiej funkcji da mi zpowrotem funkcję f(x) = a*x. Ta funkcja będzie z kolei polem funkcji f(x) = a*x. Jest to funkcja

f(x) = 1/2*a*x^2

To podstawowe pytanie przy całkowaniu.

Powtarzając tę czynność dla funkcji

f(x) = 1/2*a*x^2

która jest polem funkcji a*x, pytamy teraz pochodna jakiej funkcji da mi z powrotem funkcję

f(x) = 1/2*a*x^2

otrzymamy

f(x) =1/2*1/3* a*x^3

i tak powtarzając n razy dojdziemy indukcyjnie do bardzo ważnego wzoru na całkę dowolnej funkcji potęgowej. To dokładny wzór.

Z tego wzoru bierze się podstawowy newralgiczny wzór na całkę funkcji f(x) = x^(-1). Zauważmy, że podstawiając tą funkcję do powyższego wzoru otrzymamy wynik 0*x^0 i po skomplikowanej analizie okazało się, że taki iloczyn ma granicę niezerową równą.

Są sposoby dokładnego liczenia całek, jednak pamiętajcie, że nie wszystkie całki da się policzyć.

Dalej podajemy trzy wzory na całki.

Całkowanie przez części - Bardzo ważny wzór

Podamy ten wzór bez dowodu. Jeżeli znamy funkcje h(x) taką, że pochodna tej funkcji równa się f(x), wtedy zachodzi wzór

Metoda całkowania przez części wynika ze wzoru

na pochodną iloczynu funkcji f(x) i g(x)

Bardzo potężnym narzędziem całkowania jest metoda całkowania przez podstawienie. Przykład.

To wzór na całkę takiej funkcji jest następujący

Przykład dla n = -1

Gdyż pochodna cosinusa równa się minus sinus g(x) = cos(x)

Więcej na temat całkowania dowiecie się pod adresem:

Całki podwójne i n-tego stopnia

Przykład pokazaliśmy na zdjęciu. Sprawa jest naprawdę prosta. Ponieważ całkowanie jest odwrotne do różniczkowania więc to samo tyczy się pochodnych.

Całki przstrzenne Zaczniemy od wzorów przejścia z układu opisanego przez x i y - (Kartezjańskiego do układu opisanego przez kąt fi i r promień - (układ biegunowy)

Płaszczyzna

Odrazu wykresy przygotowane są do pisania mikro wzorów. Zauważmy, że gdy kąt fi bardzo mały, a taki przypadek rozpatrujemy pisząc mikro wzory, wtedy łuk fi możemy w granicy gdy fi zmierza do zera potraktować jako prostą.

Przestrzeń

Wzory te można udowodnić logicznie z przedstawionego wyżej wykresu, jednak nie jest to prosta sprawa w przypadku przestrzeni, która jest opisana przez dwa kąty. Lepiej zrozumieć je raz i zapamiętać aksjomatycznie.

Pola powierzchni funkcji obrotowych

Drugi sposób liczenia pola tomnożenie funkcji f(x) =y przez jej długość łuku. Pełny kont obrotu wynosi 2*pi, wystarczy więc pomnożyć y*d(L) przez tą liczbę a otrzymamy pole powierzchni obrotowej

W pierwszym równaniu, wielkości pod pierwiastkiem pomnożyliśmy i jednocześnie podzielliliśmy przez delta x kwadrat. Po wyciągnięciu delta x kwadrat przed nawias i po dodaniu limesu gdy delta x zmierza do zera, otrzymujemy końcowy wzór na pole powierzchni obracanego równania okręgu. Oczywiście może to być dowolna funkcja, na zdjęciu przedstawiliśmy równanie okręgu.

Pole powierzchni równe jest

delta(s) = (yi)*delta(L)

Stąd w drugim równaniu na zdjęciu wzięło się yi. Popatrzmy jeszcze raz na zdjęcie, gdy z delta(L) zmierzamy do zera otrzymamy Li w punkcie, a suma tych punktów pomnożona odpowiednio przez yi da nam pole powieżchni. Po dodaniu limesa do tej sumy, dostajemy całkę i końcowy wzór. 2*(pi) jest obrotem i równa się pełnemu obrotowi = 360 stopni. Pi jest liczbą = 3,14

y prim - jest pochodną funkcji y.

Jeżeli pominiemy 2*pi wtedy otrzymamy normalne pole, możemy więc napisać równość

Wzory na długości krzywych opisanych dowolną funkcją

Jeżeli mamy teraz funkcje x i y zależne od b, gdzie b może np. oznaczać czas, wtedy dzieląc i mnożąc wielkości pod pierwastkiem przez delta(b) do kwadratu, oraz wyciągając (delta(b))^2 przed pierwastek, otrzymamy dwa wzory na długości L:

pierwszy podany wyżej i drugi zadany przez zmienną b.

To są długości krzywych jedno i dwówymiarowe. Dodając kolejne sumy w wyrzej opisany sposób otrzymamy długości krzywych w n -wymiarach. To bardzowarzne ogólne wzory, podstawy. Z nich wyskakują wzory dla poszczególnych przypadków.

Podsumowując. Całka funkcji to pole powierzchni pod tą funkcją a pochodna funkcji to punkt tej funkcji.

Aksjomaty rachunku tensorów.

Definicja przestrzeni i rodzaje przestrzeni.

Przestrzeń często zwana przestrzenią liczbową, to zbiór lini dowolnego kształtu zaczepionych w jednym punkcie i wzajemnie tyko i wyłącznie prostopadłych do siebie. My możemy wyobrazić sobie tylko dwu i trój wymiarową przestrzeń

Lustrzane odbicie np w kierunku ujemnych x i y w tej definicji nie stanowi przestrzeni gdyż - x i - y są równoległe do x i y, co stanowi sprzeczność z definicją przestrzeni. Wersory e to wektory pokazujące kierunek, których długość w prostoliniowych przestrzeniach jest równa jeden. Najczęściej ta wielkość z tego powodu jest pomijana we wzorach opisujących przestrzenie prostoliniowe.. Linia prosta jest najkrutszą drogą łączącą dwa punkty, więc wersory w przestrzeniach zakrzywionych są większe od jeden i zmieniają się wraz ze zmianą współrzędnych. Rozróżniamy przestrzenie jednorodne i niejednorodne.

Przestrzeń jednorodna.

To przestrzeń dowolnych takich samych lini prostopadłych do siebie. Przykładem może być przestrzeń kartezjańska i przestrzeń Mińkowskiego.

Poniweważ masa zakrzywia czas i przestrzeń, więc tak naprawdę żyjemy w przestrzeni Mińkowskiego.

Przestrzenie niejednorodne.

To przestrzenie stanowiące zbiór niejednakowych dowolnych kształtów linii, wzajemnie prostopadłych do siebie.

W przestrzeniach liniowych jednorodnych spełnione jest twierdzenie Pitagorasa

Gdzie S jest promieniem, niezmiennikiem transformacji, to znaczy współrzędne zmieniają się według wzorów:

Ale w taki sposób, że suma kwadratów tych współrzędnych jest stała i stale równa promieniowi S. Stąd nazwa niezmiennik transformacji. Więcej znajdziecie tutaj:

http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/08/caka-powierzchniowa-i-objetosciowa.html

Prostopakłość linii dowolnego kształtu gwarantuje nam twór matematyczny zwany tensorem metrycznym. Jest to tablica o W wierszach i K kolumnach, przy czym zasze W=K. Jest to wtedy macierz kwadratowa, nazywaną tensorem. Tensor determinuje iloczyn wektorowy wektorów i daje nam nowy wektor prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez mnożone w ten sposób wektory.

Definicja tensora.

Tensorem nazywamy macierz (Tablicę) kwadratową o W - wierszachhh i K - kolumnach, wtedy i tylko wtedy gdy liczba kolumn równa jest liczbie wierszy - W = K.

Wyznacznik tej macierzy inaczej zwany jakobianem przejścia liczymy ze wzoru

Przez (det) rozumiemy wyznacznik macierzy powstałej przez skreślenie w - tego wiersz i K - tej kolumny co zapisujemy

Przy czym konwencja obliczeń jest prosta, mianowicie ustalamy kolumnę i na tej kolumnie skreślami wiersze. We zorze zmieniamy kolejno numery (w) od 1 do (k ). Zauważcie niżej, że jest to fraktalny wzór, to znaczy powtarzający się sam w sobie. Dalej piszemy opuszczając skreślone wiersze. Tutaj skreślamy wiersze ale można też skreślać kolumny

Zostawimy wynik w tej postaci, gdyż dojdziemy do bardzo ważnego wniosku. Otóż gdy mamy tensor symetryczny, to znaczy taki w którym wyrazy mieszane są sobie równe lub są równw zeru, a21=a12 wtedy rozwiązaniem takiego tensora jest iloczyn wyrazów występujących na przekątnej tensora. Odrazu otrzymujemy wzór na wyznacznik lub inaczej jakobian przejścia macierzy dwu wymiarowej.

W znakomitej większości zagadnień fizycznych mamy niezerowe wyrazy na diagonali a pozostałe składowe macierzy są tak małe, że można je pominąć. Gdy nie są małe wtedy stosujemy wzór pokazany na zdjęciu pierwszym.

Można też, jako współrzędne, mnożonych iloczynem wektorowym wektorów, wstawiać symbole pochodnych. Przykłady znajdziecie pod poniższymi linkami.

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/06/rachunek-operatorow-to-rachunek.html
http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/06/rachunek-operatorow-cz-2-drugie.html

Oto cała tajemnica rachunku tensorowego.

Stosując aksjomat dotyczący współrzędnych iloczynu dwóch wektorów, czyli rozpatrując dwu wymiarową przstrzeń, możemy ułożyć macierz dla składowej x-owej, któtej opis matematyczny znajdziecie pod adresami:

http://izydaaa.blogap.pl/2013/04/21/wstep-do-ogolnej-teorii-wzglednosci-cz-1/

http://izydaaa.blogap.pl/2013/04/21/wstep-do-ogolnej-teorii-wzglednosci-cz-2/

Twierdzenie Kramera.

Załóżmy, że mamy układ równań

Wtedy układamy macierz.

To wzory na X , Y , Z, są następujące. Po prostu zastępujemy kolejne kolumny, kolumną wyników naszego układu równań.

Mamy nadzieję, że udało Nam się wytłumaczyć rachunek tensorowy w zrozumiały spsób. Życzymy dobrej zabawy

Rachunek tensorowy to bardzo potężne narzędzie.

Można się wspomódz stroną podaną niżej, jest świetna.

http://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Metody_matematyczne_fizyki

Aksjomaty wektorów i rachunek różniczkowy.

Wprowadzono aksjomatycznie operator różniczkowy nazwany - Nabla, który jest wektorem różniczkowym. Jego symbol i współrzędne, pokazujemy na poniższym zdjęciu.

Z aksjomatów wartości iloczynu wektorów, wynikają dalej pojęcia divergencji - (długości wektora przenikającego przez powierzchnię) i rotacji wokół lini tego pola.

Na tej podstawie udowodnimy, że dywrgencja z dywergencji równa się nowemu wektorowi.

Dowód

Zastosowaliśmy tu aksjomat mnożenia współrzędnych dwóch wektorów i otrzymaliśmy nowy wektor. którego współrzędne są drugie pochodne.
Udowodnimy teraz, że rotacja z divergencji równa się zeru. Dywergencja to iloczyn skalarny współrzędnych wektorów a rotacja to ich iloczyn wektorowy.

Dowód.

Udowodnimy teraz, że dywergencja z rotacji równa się zero.

Należy pamiętać, że tensor powstaje z iloczynu wektorowego, który jest wektorem wypadkowym prostopadłym do płaszczyzny określonej przez wektory składowe.

i,j,k są wektorami jednostkowymi. Umieściliśmy je po to by otrzymać macierz kwadratową. Tablice tensorową też trzeba umieć sporządzić.

Pierwsza nasza praca na ten temat znajduje się pod adresem

http://matematyka-fizyka1.blogspot.com/2013/01/rachunek-tensorowy.html

Pierwsze twierdzenie rachunku operatorów.
Jeżeli rotacja jakiegoś pola wektorowego równa się zero:

to istnieje takie pole skalarne ksi, że:

Zauważmy, że div tego pola skalarnego, czyli jego pochodna daje pole wektorowe. To bardzo ważne twierdzenie w mechanice falowej i kwantowej.
Drugie twierdzenie operatorów.

Jeżeli dywergencja (div) pola wektorowago H:

To istnieje takie pole wektorowe C, że:

Bardzo często stosuje się zapis iloczynu wektorowego jako rot - rotacja a iloczynu skalarnego jako div - dywergencja, sami zastanówcie się dlaczego.
Trzecie twierdzenie rachunku operatorów.

Całlka z dywergencji pola wektorowego ksi po powierzchni tego pola, wyznacza gradient pola wektorowego ksi. To znaczy wyznacza prostopadłlą do lini sił pola ksi.

Aksjomaty teorii pola.

Ktoś kto chce być na bierząco z nowoczesnymi teoriami fizycznymi, dla tego teoria pola, jej podstawowe wzory są dekalogiem. Podajemy te wzory bez dowodów gdyż są ciężkie, dlatego trzeba nauczyć się ich na pamięć.

Podstawowe wzory teorii pola.

Istnieje warunek dla pierwszego równania. Mianowicie pochodne cząstkowe po x i y muszą być równe. d(X)/d(y) = d(Y)/d(x). X i Y to współrzędne funkcji wektorowej G.

Iloczyn wektorowy oznacza mnożenie składowych wektórów, prostopadłych do siebie i iloczyn ten wyznaczamy z macierzy kwadratowej zwanej tensorem.

Wnioski

1) Źródłowość czyli divergencja lub inaczej zwana przenikaniem, pla potencjalnego fi, generuje pole wektorowe G, które tym samym musi mieć źródło. Tym źródłem jest doeolny ładunek podzielony przez stałą przenikalności tego pola G.

2) Rotacja pola fi, generuje prostopadłe do pola wektoroewgo G pole wektorowe B. które tym samym wiruje wokół lini pola wektorowego G. Oznacza to, że źródłem pola wektorowego B nie jest ładunek, lecz sam ruch wirowy. To z kolei oznacza, że jego divergencja czyli źródłowość jest równa zeru.

3) Przypatrzmy się ostatniemu prawu. Skoro pochodna po czasie, daje pole rotujące prostopadłe do pola różniczkowanego, to rotacja pola wektorowego B, musi dać zmienne w czasie pole wektorowe G. Zmianę przenikania pola wektorowego G może też dać zmiana jego źródła w czasie, czyli zmiana jego ładunku. To też spowoduje rotację pola wektorowego B, w kierunku prostopadłym do pola wektorowego G. Musimu więc tą zmianę dodać. Można powiedzieć, że zmiana tego ładunku jest źródłem pola wektorowego B, czyli jej ładunkiem, co oznacza, że tą wielkość musimy podzielić przeż przenikalność pola wektorowego B. W ten sposób otrzymamy d(q)/d(t)/(mi*epsilon). Otrzymujemy w ten sposób równania Maxwella, które są równaniami teorii pola. Oto te wzory:

Twierdzenie Greena

X ;Y to współrzęne wektora G. Przypomnijcie sobie koniecznie aksjomat długości wektora. Podane niżej wzory opierają się na tym aksjomacie.

Wzory rotacyjne Greena dla pól wektorowych na płaszczyźnie i w przestrzeni.

L - Długość

S - Powierzchnia

B - Objętość. Nie mylić z polem wektorowym.

Całki na ostatnim zdjęciu są całkami obrotowymi, więc L jest promieniem koła o współrzędnych x i y.
Wzory te stosuje się bardzo prosto. Mamy przykładowo wektor o współrzędnych AB = [X ; Y] = [x^2 ; y^2]. Podstawiamy te współrzędne do wzoruów - pierwszego i dwóch ostatnich, otrzymując w ten sposób potencjał fi i wzór na rotację pola wektorowego G po płaszczyźnie. Może być to tylko jedna współrzędna wtedy współrzędne Y i Z są równe zeru. Tym samym pierwszy wzór upraszcza się do dowolnych funkcji.

Pierwszy wzór jest najważniejszy, z niego wyznaczamy potencjał dowolnej funkcji wektorowej, co pozwala dalej rozwiązać do końca podane równania.

Wzory te poćwiczyć możecie w artykule:

http://darmowa-fizyka.blogspot.de/2013/11/elektrycznosc-i-elektromagnetyzm-w.html?view=timeslide

Są różne funkcje opisujące potencjały a ponieważ przestrzeń czyli pole wektorowe też jest energią więc np. Materia może parować przestrzenią to znaczy polem wektorowym. Potencjał masy wynosi 1/r a suma tych potencjałów dla poszczególnych odległości ma skończoną granicę. Dlatego zwykła materia nigdy nie wyparuje.
Weźmy jednak pod uwagę materię promieniotwórczą. Wiadoma nam, że masa danego pierwiastka promieniotwórczego spada wraz z czasem i taki wzór zmainy masy w czasie dokładnie znamy. Spójżmy teraz na czwarte równanie Maxwella. Widzimuy, że zmiana masy podzielona przez stałą przenikalności pola wektorowego B generuje to pole wektorowe. Mamy więc wzór określający pole wektorowe B więc z pierwszego podanego równania możemy wyznaczyć jego potencjał, co w połączeniu z trzecim równaniem pozwala nam wyznaczyć pole wektorowe G dla takiej masy radioaktywnej.

Równania różniczkowe.

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu jednorodne

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu jednorodne wygląda następująco

Z tak określonego równania należy wyliczyć (y). Jest to rozwiązanie wyżej pokazanego równania różniczkowego. Pokazano je na poniższym zdjęciu

Wyprowadzenie rozwiązania - Dowód logiczny

Po pierwsze rozdzielamy zmienne, czyli y-ki przenosimy na jedną stronę a x - sy na drugą.

Po drugie, korzystamy z wcześniej udowodnionego twierdzenia, że całkowanie jest odwrotnością różniczkowania, kliknij na poniższy link, tu umieściliśmy dowód

http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/02/00000r0a0chunek-cako0wy-dla-tych-ktorzy.html

Należy szczególną uwagę zwrócić na fakt iż P(x) jest równe całce(p(x)dx

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu nie jednorodne

Jest to równanie, w którym stała C występująca w rozwiązaniu powyższego równania, jest zmienną zależną od x. Wtedy rozwiązanie takiego równania wygląda następująco. Dodamy tylko że

y = c*e^P(x)

W ten sposób poniższe równanie jest powiązane z powyższym.

Dowód

Równanie różniczkowe drugiego rzędu jednorodne.

Równanie różniczkowe drugiego rzędu jednorodne wygląda następująco.

Jest tu pewna trudność. Mianowicie są dwa rozwiązania a ich suma też jest rozwiązaniem, czyli mamy tzry rozwiązania. Wspomniana trudność to fakt, że pierwsze rozwiązanie trzeba zgadnąć, by dalej policzyć pozostałe dwa równania. Jeżeli więc odgadniemy pierwsze rozwiązanie, to drugie przedstawia wzór:

Dowód.

Ponieważ znamy rozwiązanie y1 i wiemy, ze istnieje rozwiązanie y2, więc zakładamy, że y1/y2 = u(x). To znaczy, że otrzymany wzór możemy stosować gdy ten stosunek nie będzie stały. Mamy więc

u(x) należy wyznaczyć, po przez podstawienie takiego y2 do równania różniczkowego drugiego rzędu jednorodnego.

Wykonując różniczkowanie pierwszego nawiasu i grupując wyrażenia otrzymamy równanie

Pamiętajmy o założeniu y1/y2 = u(x). Takie założenie powoduje, że funkcja U(x) musi być bez wymiarowa. Czyli podaną całkę można przedstawić funkcjami typu ln(x) lub e^x. Tego typu funkcje są bez wymiarowe. Co do stałych, to z analizując powyższe wyprowadzenie, dojdziecie do wniosku, że mają one takie same wymiary, co w połączeniu z warunkiem bezwymiarowości podanej wyżej całki prowadzi do jedynej konieczności. Mianowicie muszą się one znieść. Czyli napewno w wyniku otrzymamy C/C. Właśnie dlatego stałe całkowe w powyższym równaniu zostały opuszczone.

Zdjęcia objaśniające.

Twierdzenie Wrońskiego

Dotyczy tylko równania różniczkowego n-tego stopnia jednorodnego, to znaczy równego zeru

Jeżeli stosunek tych rozwiązań y1/y2 nie jest stały, to ich suma jest trzecim rozwiązaniem równania różniczkowego drugiego rzędu jednorodnego. Karzde rozwiązanie mnożymy odpowiednio przez stałe C1 .... Cn

Przykład

Jeżeli poprawnie odgadneliśmy pierwsze rozwiązanie, to po podstawieniu odgadniętego rozwiązania do równania różniczkowego, lewa strona będzie równała się prawej.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU DRUGIEGO TYPU

Równania tego typu rozwiązujemy metodą podstawień. Ogólne rozwiązanie jest następujące.

Dowód.

Stosujemy podstawienie. Pierwsza pochodna y równa się P(x).

Taką całkę trudno policzyć. Można zastosować przybliżenia funkcji, w wielu przypadkach można cały ten dowód przejść od początku, co np. dla f(x) = x pozwoli nam uniknąć tej kłopotliwej całki. Dla przykładu pokażemy to krok po kroku.

Równanie różniczkowe drugiego stopnia nie jednorodne
Równanie różniczkowe drugiego stopnia nie jednorodne, przedstawione jest wzorem:

Jego rozwiązaniem jest poniższy wzór.

W(x) -jest wyznacznikiem macierzy drugiego stopnia, której sposób liczenia wyjaśniamy w artykule kryjącym się pod poniższym linkiem:

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-rachunku-tensorowego.html

Wyliczamy najpierw y1 i y2 z równania różniczkowego drugiego rzędu jednorodnego, które otrzymamy przez przyrównanie powyższego równania do zera. y1 musimy odkadnąć puźniej wyznaczamy y2 ze wzoru, który wyjaśniliśmy w artykule kryjącym się pod poniższym linkiem:

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/11/rownanie-rozniczkowe-drugiego-rzedu.html?view=timeslide

Suma tych dwóch rozwiązań stanowi część rozwiązania powyższego równania, w skrócie piszemy RORJ. Wzór wygląda następująco. Powtórzyliśmy ten wzór z powyższego artykułu.

Rozwiązanie szczególne w skrócie RSRN powyrzszego równania niejednorodneg, uzyskujemy po przez wstawienie do wzoru na y(RSRN) wcześniej wyznaczonych y1 i y2. To wzór przedstawiony w powyższym dowodzie matematyczny. Powtórzymy ten wzór.

Suma tych dwóch rozwiązań stanowi rozwiązanie ogólne równania różniczkowego drugiego stopnia nie jednorodnego. w skócie piszemy RORN. Wobec tego mamy:

RORN = RORJ + RSRN

Dowód matematyczny RSRN

Ponieważ y1 i y2 są rozwiązaniami RORJ, więc rządamy po przez równanie, by suma tych rozwiązań była rozwiązaniem RSRN. To rządanie przdstawia poniższy wzór

Różniczkujemy teraz to równanie jedno i dwu krotnie, wstawiając tak uzyskane wielkości do wzoru podanego na samym początku. Uzyskujemy w ten sposób równanie

Drugi warunek wynika z pierwszego. Pochodna z zera równa się zeru.

Wyrażenia w nawiasach zerują się, gdyż y1 i y2 są rozwiązaniami tych równań różniczkowych. Czyli pozostaje:

Drugi warunek (poprzedni), możemy pominąć gdyż mamy komplet danych by rozwiązać powstały układ równań. Naprawdę konieczne są dalej wiadomości na temat tensorów. Bez tych znajomości nie ruszycie dalej. Jeszcze raz podajemy linka do tego artykułu.

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-rachunku-tensorowego.html

Przedstawiona tam teoria rozwiązywania układów równań, pozwala nam ułorzyć tensor dwu wymiarowy. Niewiadomymi w tym układzie są funkcje A(x) i B(x).

Niewiadome A(x) i B(x) wyznaczamy stosując twierdzenie Kramera, które pokazaliśmy na poniższym zdjęciu. To aksjomat. Trzeba dobrze sobie wbić te wzory do głowy.

Równanie różniczkowe drugiego rzędu jednorodne o współczynnikach p i q stałych.

Rozwiązanie to odgadujemy. Nie jest to trudne jeżeli się wie, że pochodna z e^x daje z powrotem tę samą funkję e^x. Pozostaje nam w ten sposób równanie charakterystyczne, które trzeba rozwiązać względem r, tak by po podstawieniu z powrotem do równania różniczkowego, równaie to wyzerowło nam się.

Powinno być oczywiście e do pitęgi minus i*b*x

Przykładowo. Jeżeli wyszła nam delta równania charakterystycznego mniejsza od zera, wtedy minus przedstawiamy jako i^2 i wyciągamy z pod pierwiqastka. Przykładowo P = 4 a pierwiastek z delty = -36. Wtedy liczba zespolona r wygląda następująco:

Więcej na temat liczb zespolonych znajdziecie pod adresem
http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-podstawy-aksjomaty-liczb.html?view=timeslide

Twierdzenie Wrońskiego

Suma poszczególnych rozwiązań równania różniczkowego niejednorodnego, jest też rozwiązaniem tego równania.

Dalszy dowód leży w zakresie czytelnika. Jest łatwy wystarczy podstawić rozwiązanie do równania różniczkowego, różniczkujemy je dwu i jednokrotnie. Jeżeli rozwiązanie jest poprawne powinniśmy otrzymać - lewa strona równa prawej – stronie równania.

Nie wszystkie rozwiązania tych równań można opisać wzorami, dlatego często rozwiązania trzeba zgadywać. To trudna sztuka, nie które równania są skomplikowane i trzeba mieć mocną wiedzę z matematyki by zgadywać rozwiązania.

Szeregi funkcyjne.

Karzdą funkcję można przedstawić w postaci sumy szeregów, które zawierają kolejne przybliżenia funkcji. Zwykle bierze się pierwsze i drugie przybliżenie. Oto przybliżenia dal dwuch funkcji. Tych wzorów też trzeba nauczyć się na pamięć. Są bardzo przydatne.

Ostatni wzór rozwijamy wokól zera. Primy oznaczają kolejne pochodne i w tych pochodnych za x wstawiamy zero.

Przkłady zastosowania tych równań znajdziecie pod likami:

http://laplacea2.wordpress.com/2013/01/27/rozszczepienie-lawinowe/

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-ocylator-tumiony.html

http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/11/rownowaga-promieniotworcza.html

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/11/ruch-drgajacy-w-piguce.html?view=timeslide

Ogólne i kierunkowe równanie prostej. Styczna i sieczna do wykresu funkcji.

Styczną do dowolnej funkcji f(x) wyraża wzór:

Dowód.

Dowodząc powyższe równanie po drodze udowodnimy ogólne i kierunkowe równanie prostej. Do ogólnego równania prostej dochodzimy startując z definicji kosinusa między wektorami. Z kosinusa dlatego by dwa wektory miały część wspólną, by przecinały się ze sobą. Zakładamy warunek początkowy taki, że dwa wektory są do siebie, to oznacza kont prostopadłe, zauważmy, że taki warunek oznacza kąt równy 90 stopni a to z kolei pociąga za sobą fakt iż cos(90) = 0
Nigdy nie wolno dzielić przez zero gdyż taki cosinus ma granicę niewłaściwą w nieskończoności. Dlatego licznik przyrównujemy do zera. Sporządzimy sobie następujący schemat.

Zakładamy, że współrzędne x0 i y0 są znane oraz znane są współrzędne A i B. Wektor delta(P) ma współrzędne

(P) = [(x-xo) ; (y-y0)]

Podstawiamy to do pierwszego równania otrzymanego z definicji kosinusa

Ponieważ xo i yo są punktami zaczepienia znanymi więc
A*xo-B*yo = c stałej. Stąd ogólne równanie prostej przechodzącej przez punkt o współrzędnych [A ; B] ma postać

Jest to Ogólne Równanie Prostej.

W ten sposób nierozerwalnie połączyliśmy ze sobą prostą i punkt (a). Ponieważ założyliśmy cos = 0 więc mamy pewność, że punkt a leży na prostej wyznaczonej przez dwa punkty, którym drugim punktem jest punkt P.

Granica kierunkowego równania prostej, jest styczną do funkcji F(x)

Kierunkowe równanie prostej otrzymujemy przez zwykłe rozwiązanie równania względem y

Jeżeli teraz będziemy zmieniać A,B x i y, będziemy tym samym obracać wektor P a więc i prostą na której leży. Po rozwiązaniu względem y otrzymujemy kierunkowe równanie prostej

a zmiana delta(y) która wynika ze zmiany A;B y i x wynosi

Z podanych wyżej wykresów możemy napisać równość

Wstawiając to do równania na delta(y) i pamiętając, że delta(y) = y - yo najogólniej, otrzymamy.

Obydwie strony powyższego równania pomnożyliśmy przez lim.

Ponieważ w granicy y2 = y1 więc granica ta determinuje styczność prostej z jednym punktem funkcji f(x). To kończy dowód.
Za x w pochodnej f(x) w stawiamy x0. f(x)0 i x0 są znanymi wartościami liczbowymi. Zauważcie, że przy takich warunkach jest to zawsze równanie prostej. Po prostu trzeba go rozwiązać względem Y, przenosząc na prawą stronę f(x0).
To bardzo ważny wzór, wię jeszcze raz pokażemy go osobno.

Równanie prostej.

Jest to równanie prostej.

Przykład zastosowania

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty

P = [1;2]

a = [6;7]

Sprawa jest prosta podstawiamy współrzędne do równania kierunkowego prostej

Zauważmy, że a - jest tangensem konta nachylenia tej prostej względem osi x Zadajmy sobie pytanie, jak z taką informacją wyliczyć równanie prostej prostopadłej do uzyskanego wyżej równania?. Wtedy to nastąpi gdy (a2) będzie odwrotnością tangensa (a) i będzie ujemne to znaczy, że ich iloczyn równy jest minus jeden.

Warunek prostopadłości wektorów i prostych

W naszym równaniu prostej a = 1, więc a2 = 1/a = - 1. wstawiamy to za a w naszym równaniu i otrzymujemy drugie prostopadłe do pierwszego.

Jak otrzymać teraz równanie równoległe do pierwszego? Otóż wystarczy zmienić w tym równaniu stałą c.
Gdy zaś mamy wektory np.

a = [-3;2]

b = [5;4]

c = [1;2]

d = [5;3]

a,b,c,d są punktami o współrzędnych takich jak pokazano wyżej to zakładamy, że wektory powstałe z tych punktów są równoległe. Sięgamy do aksjomatów działań na wektorach.

Mogli byśmy założyć cos = 0 jednak w takim przypadku otrzymamy dwa wektory pokrywające się ze sobą, leżące na jednej prostej. sins jest równy zero dla kąta równego 90 stopni i oto nam chodzi. Otrzymamy wtedy wie proste równoległe oddalone od siebie. Dalej w formie zdjęć

Na koniec zapamiętajmy, iż różnica współrzędnych we wzorach na sinus i kosinus jest aksjomatyczna.

Funkcja kwadratowa

Otrzymujemy ją z pomnożenia dwóch dowolnych funkcji liniowych.

Można ą doprowadzić do tak zwanej postaci kanonicznej

f(x) = a*(x+k)^2 + d

gdzie k id będzie wyrażone znanymi stałymi a b c. Ktoś to przepięknie zrobił na jednej ze stron, podaję adres:

http://www.matma-online.pl/index.php?option=com_content&view=article&id=47:wzor-post-kanon&catid=36:rown-kwadrat&Itemid=40

Wobec tego równanie trujmianu kwadratowego ma postać

Zero w matematyce jest szczególną liczbą bardzo upraszczającą równania. Jeżeli powyższe równanie przyrównamy do zera i rozwiążemy je względem x to otrzymamy liczby w których funkcja f(x) jest równa zeru, to znaczy przecina oś x.

Bardzo często rozwiązując jakieś równania otrzymujemy ich postać typu

a*x^2 + b*x + c = 0

Przyrównajmy więc powyższy trujmian do zera i otrzymamy wtedy gotowe wzory na x czyli rozwiązanie szukanej wielkości.

Pamięŧąjmy

Równanie kwadratowe f(x) = x^2, ma zawsze dwa rozwiązania + i -. Np.

Powodem tego jest symetryczność, parzystość funkcji kwadratowej, ujemna liczba podniesiona do kwadratu daje liczbę dodatnią, to jest powód dwóch rozwiązań. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, dla truj mianu również. Dla powyższego przykładu wykres wygląda następująco;

a = 1 ; b = 0 ; c = 4.

Mamy więc rozwiązanie x-ów. Przypatrzmy się jeszcze raz równaniu kwadratowemu w postaci

Jeżeli podstawimy do tego równania wyliczone x to otrzymamy wartość f(x) w punkcie x(1;2), czyli wierzchołek paraboli

Co zachodzi tylko wtedy gdy delta równa zero. Gdy delta równa zero, wtedy mamy jedno miejsce zerowe, które pokrywa się z wierzchołkiem paraboli. Tym samym mamy wzór na wierzchołek paraboli.

Mamy w ten sposób x i y a więc współrzędne wektora a równania kwadratowego. Powinno być f(-b/(2*a)).

Najprościej jak mogę to wytłumaczyć w inny sposób. Z równania kwadratowego w postaci kanonicznej widać, że wierzchołek paraboli w kierunku x jest przesunięty o -(b/(2*a)) a w kierunku y o -(delta/(4*a)).

Najdokładniej widać to w równaniu jeżeli nie przyrównamy je do zera, wtedy mamy go w ogólnej postaci dla każdego a,b,c, jeżeli teraz przeniesiemy -(delta/(4*a)) na stronę f(x) wtedy te przesunięcia będą wyraźnie widoczne. Pokazuję to na poniższym zdjęciu

Przepraszam za powyższy błąd oczywiście współrzędną x - ową wierzchołka paraboli jest

x = -(b/(2*a)

Długość wektora równania kwadratowego pokazałem na poniższym zdjęciu

Przykład

Znajdź równanie prostej przechodzącej przez miejsce zerowe paraboli oraz przez jej wierzchołek. Równanie kwadratowe podaję na poniższym zdjęciu

Otrzymaliśmy więc poprawne równanie.

Wzory Wieta

Wzory Wieta biorą się po przez kombinację dwóch rozwiazań równania kwadratowego.

x1+ x2

x1*x2

Podstawmy za x1 i x2 rozwiązania powyższe wtedy

Przykład

Wzory Wieta wykorzystuje się do rozwiązywania równań z parametrem. Parametrem jest uzmiennione a , b i c. Rozwiążmy nap takie zadanie.

Dla jakiego parametru m, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania o różnych znakach.

Przykład 2

Dla powyższego zadania znaleźć wektor wodzący wierzchołka paraboli.

Wektor ten jest zaczepiony w początku układu współrzędnych

Na koniec zbierzmy najważniejsze wzory tyczące się równania kwadratowego. Na poniższym zdjęciu drugie równanie to równanie paraboli. Zapamiętajcie, przesunięcia wzdłuż osi x i y, W matematyce geometrycznej to podstawa, spotkacie to przy równaniach okręgu elipsy i tp.

Współrzędne wierzchołka paraboli Ww

na zakończenie f(x) = y trzeba się przyzwyczaić do tych dwóch symboli oznaczających wartości funkcji.

Więcej na temat pochodnych znajdziecie w tablicach pochodnych zamieszczonych w internecie. Są jeszcze pochodne funkcji trygonometrycznych i łatwo je udowodnić stosując definicję pochodnej tak jak dla pochodnej iloczynu funkcji.

Przykład zastosowania pochodnej dla iloczynu funkcji

Załóżmy, że mamy iloczyn dwóch funkcji. Stosując definicję pochodnej można udowodnić, co zrobiliśmy puźniej, że:

Przykład zastosowania pochodnej dla funkcji wykładniczej

znak e jest liczbą równą 2,781..... tak często powtarzającą się w matematyce, że nadano jej ten symbol.

Więcej na jej temat znajdziecie pod linkiem

http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2013/01/aksjomaty-logarytmow.html

Gdy zmierzamy z delta x do zera wtedy e^(delta x) zmierza do jeden, jednak zawsze tą jedynkę o trochę przekracza, więc cała różnica po odjęciu jedynki jest dużo mniejsza od jedności. Zauwarzmy teraz, że i delta x przez które dzielimy całą różnicę jest dużo mniejsza od jedności. Mamy więc symbol - zero dzielone przez zero, a jak wyżej wykazaliśmy taki symbol może mieć granicę skończoną

To ciężka granica do policzenia. Ten przykład daliśmy po to by sobie uzmysłowić, że wzory na pochodne poszczególnych funkcji rodziły się w bólach. Powyższą granicę policzymy w ten sposób. Funkcję wykładniczą e^(delta x)

Rozwijamy w szereg Taylora lub inaczej zwany Maclarena wokół delta(x) = a = 0, innymi sowy w tym rozwinięciu za delta x w pochodnej funkcji wstawiamy zero ale tylko w pochodnej.

Powyższa równość będzie równa jeden gdy za delta x wstawimy zero, jeżeli wstawiamy bardzo małe delta x to całość jest równa e do potęgi delta x. stąd po prawej stronie wzięło się e^d(x).

Więcej takich szeregów znajdziecie tutaj

http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/02/bardzo-przydatne-wzory.html

Więc nasza funkcja w przybliżeniu wygląda następująco

Wobec tego cała granica ma następującą postać

Podstawiając delta x równe zero otrzymujemy. Jest to ogólnie przyjęty sposób liczenia granic, doprowadzamy równanie do takiej postaci by nie było symbolu zero/zero lub nieskończoność/nieskończoność. Po czym podstawiamy wartość liczbową limesa. Gdy nie możemy uniknąc tych symboli wtedy stosujemy twierdzenie de Hospitala. ąle o tym duż puźniej będzie mowa.

Czyli pochodną e do potęgi x jest ta sama funkcja e do x. Nie jest to zbyt piękny dowód gdyż występuje pętla, mianowicie w samym wzorze na szereg zakładamy, że pochodną e do x jest e do x. Jednak prawdopodobnie takie założenie jest słuszne, na pewno zostało wielokrotnie potwierdzone doświadczalnie. Granic wcale nie trzeba liczyć matematycznie wystarczy podstawiać do wzoru coraz mniejsze delta x, a granica sama wyjdzie.

Przykład z fizyki.

Jeżeli znamy drogę np. w ruchu jednostajnie przyśpieszonym

S = 1/2*a*t^2

I chcemy wiedzieć jaka jest prędkość ciała, wtedy kożystamy z definicji prędkości, która to jest granicą, tak jak pokazaliśmy niżej.

Takim wzorem jest przedstawiona prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym.

szybkie-uczenie-sie-fizyki-i-matematyki

piątek, 13 grudnia 2013

Aksjomaty matematyki w pigułce.

Aksjomaty układu równań

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz