fizyka jądrowa w pigułce.

Wszechmocny jest doskonale zły!!!!.  W tej sytuacji nie wiedza jest rajem a wiedza piekłem. Zastanów się dobrze, czy jego wolą jest, Byś się uczył. Przemyśl to dobrze i zdecyduj czy chcesz wystąpić przeciwko niemu, swoją nauką wbrew jego woli. Pewne jest, że są Ludzie, którym pozwolił się uczyć do pewnych granic. Przemyśl to dobrze, za nim zaczniesz czytać poniższy artykuł.

Aksjomaty matematyki znajdziecie pod adresem:

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/12/matematyka-w-piguce.html?view=timeslide


Aksjomatyczne prawo rozpadu promieniotwórczego.

Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki.

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-pochodna-funkcji-rachunek.html

 

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-do-postu-rachunek-cakowy-dla.html

Po licznych doświadczeniach z pierwiastkami promieniotwórczymi zauważono, że jego ilość wraz z czsem- Gdy przez N oznaczymy liczbę pozostałych jąder atomowych po upływie czasu t i N0 początkową liczbę jąder pierwiastka promieniotwórczego - określa następujący wykres.

To jest aksjomat tak naprawdę najważniejszy, a ponieważ niepodlega dalszemu dowodzeniu, więc trzeba ten aksjomat przemyśleć i nauczyć się na pamięć.!!!!

Dalej to już przekształcenia matematyczne, które też warto znać.Przepiszmy więc to prawo i pooperujmy na nim.

Bardzo ważne prawo już otrzymane z wynikania, opisujące ilość pierwiastka promieniotwórczego pozostałego po upływie czasu t.
Jeżeli zróżniczkujemy je po czasie to otrzymamy prędkość rozpadu promieniotwórczego.

Lambda - ma wymiar odwrotności czasu i nazywamy ją stałą charakterystyczną dla danego pierwiastka promieniotwórczego.

Średni czas życia atomu promieniotwórczego.

Wprowadźmy teraz wielkość tał, która oznacza średni czas życia atomu. Jeżeli N0 pomnożymy przez ten czas, wtedy otrzymamy całkowity czas życia próbki. Z drugiej strony jest on równy prędkości rozpadu razy czas liniowy t scałkowany po całym czasie od zera do nieskończoności.
Możemy więc napisać równość

Serwer wolfram liczący całki zwrócił nam następującą wartość całki.

Jest to wzór na średni czas życia atomu promieniotwórczego zależny tylko od lambda charakteryzującą dany pierwiastek promieniotwórczy.
Jeżeli chodzi o symbol 0*nieskończoność, to nie trzeba tutaj badać granicy tego iloczynu gdyż liczba e podniesiona do minus nieskończoności o wiele silniej zmierza do zera niż lambda razy nieskończoność!!!!!.

Energia wiązań atomowych

Po rozpadzie promieniotwórczym zauważymy, że suma mas jąder powstałych po rozpadzie jest mniejsza niż masa jądra matki. Ta różnica mas zamieniła się w czystą energię kinetyczną ruch postępowego nuklidów powstałych po rozpadzie  równą w całości:

d(m) - jet różnicą mas
c - Prędkość światła

Wyprowadźmy teraz wzór na energię wiązania jąder w atomie.

Jak wiemy z elektrostatyki dwa jednakowe ładunki odpychają się, jednak gdy zbliżyć je do siebie na odpowiednią odległość, wtedy do głosu dochodzą silniejsze siły przyciągające, zwane siłami jądrowymi. Wraz ze wzrostem promienia jądra, energia ta maleje jak się dalej przekonamy, odwrotnie do promienia w drugiej potędze. Skutkiem tego siły jądrowe choć o wiele wiele potężniejsze od elektrostatycznych, mają bardzo krutki zasięg.
Wyprowadźmy teraz wzór na tą energię. W tym celu wykożystamy postulat Bohra

gdzie n jest kwantem, liczbą całkowitą o którą mogą zmieniać się momenty pędów elektronów krążących po orbitach atomowych. Założymy teraz, że w jądrach atomowych jest tak samo, czyli liczba możliwych pędów neutronów i protonów w jądrze jest też skwantowana..

Dalej będziemy rozpatrywać objętość przestrzeni pędów i wielkości liniowych, to konieczne, gdyż całkowita liczba możliwych pędów tworzy pewną przestrzeń. W tym celu równanie Bohra podniesiemy do trzeciej potęgi.

 n - niepodnosimy do trzeciej potęgi, gdyż liczba możliwych stanów w przestrzeni jest dalej n.
h^3 - daje sześciowymiarową przestrzeń we współrzędnych, Px,Py,Pz i w przestrzeni liniowej, x,y,z.Stąd łatwo wyliczyć n - możliwą liczbę stanów jądra. Pamiętajmy, że pęd w tym wzorze jest przestrzenią. Bierzemy więc obwód przestrzeni pędów równy 2*pi*P i całkujemy dwukrotnie po d(P)

 Dalej z zasady Pauliego wiemy, że jeden stan mogą obsadzić dwa nuklidy o przeciwnych stanach, powyższy wzór przedstawia taką sytuację, więc dzieląc ten wzór przez 2 otrzymamy ilość protonów i neutronów w jądrze.

 Rozwiązując to równanie względem P, otrzymamy wzór na pęd protonów i neutronów w jądrze.

Jest to wzór na pęd w zależności od liczby protonów i neutronów w jądrze. Dalej zauważymy, że energia jest określona przez pęd i masę w sposób pokazany niżej 

Podstawiając ten pęd do wzoru na energię mamy dalej końcowy wzór

Pamiętajmy, że pochodna energii po drodze daje siłę, tutaj trzeba policzyć pochodną po d(r)  Wtedy  

wzór na siłę jądrową przybiera postać

Widać wyraźnie, że siła zależy od odwrotności promienia w trzeciej potędze. To daje olbrzymie różnice między siłą Kulombowską i jądrową ta ostatnia dla małych R jest dużo większa a dla dużych dużo mniejsza.

Fizyka jądrowa. Równowaga promieniotwórcza.

Ilość powstałych nowych pierwiastków powstałych po rozszczepieniu pierwiastka matki>
Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki.

http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/02/00000r0a0chunek-cako0wy-dla-tych-ktorzy.html
http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/02/rachunek-rozniczkowy-wykad.html

Wyprowadzimy tutaj wzór, który pozwala to policzyć. Niech współczynnik nowo powstałego pierwiastka będzie oznaczony lambda 2 a pierwiastka matki lambad1. Wtedy ich prędkości rozszczepienia wynoszą:

 Otrzymaliśmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu niejednorodne.
Sposób rozwiązań takich równań opisaliśmy tutaj.

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/12/matematyka-w-piguce.html?view=timeslide

Przypomnimy, że najpierw rozwiązujemy równanie różniczkowe pierwszego stopnia jednorodne, które powstaje przez przyrównanie tego równania do zera>

Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest:

C1 wyznaczamy z warunków brzegowych, gdzie t = 0.

Mamy więc rozwiązanie rownania różniczkowego pierwszego rzędu jednorodnego. Rozwiązaniem równania różniczkowego pierwszego rzędu niejednorodnego jest funkcja:

C znowu wyznaczamy z warunków brzegowych dla t = 0 wtedy i N2(t) = 0.

Podstawiając to C i przekształcąjc matematycznie równanie, w celu uproszczenia formy zapisuotrzymamy. Pokazujemy to w formie zdjęć:

Suma tych dwóch rozwiązań jest rozwiązaniem ogólnym naszego równania różniczkowego.

Zauważmy, że pierwszy człon sumy równania daje nam drugi człon równania, gdyż jest to liczba nowo powstałego pierwiastka, który też podlega rozszczepieniu. Uwzględniając to otrzymamy końcowy wzór na liczbę pierwiastka promieniotwórczego piwstałego z pierwiastka matki.
 

Fizyka jądrowa. Lawinowa reakcja łańcuchowa. 

Lawinowa reakcja łańcuchowa
Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki
http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/02/00000r0a0chunek-cako0wy-dla-tych-ktorzy.html
http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/02/rachunek-rozniczkowy-wykad.html
Rozpatrzmy pierwiastek uranu u 235. By doszło do rozszczepienia neutron uderzający w jądro uranu musi mieć odpowiednią prędkość. Z dualizmu korpusko – falowego de broila wiemy, że każda cząstka posiadająca prędkość wysyła fale o długości lambda

Ta długość fali musi być równa średnicy jądra atomu uranu, więc prędkość neutronu jest ściśle określona. Dlacego tak jest. Można to sobie wyobraźić na postawie okna na które puszczamy falę. Jeżeli długość fali jest mniejsza od rozmiarów okna wtedy fala przejdzie przez nie bez interakcji. To samo stanie się z neutronem zbyt szybkim przejdzie on przez jądro uranu bez interakcji.. Tylko fala o rozmiarach okna zostanie przez to okno zaabsorbowana i okno zacznie drgać, to samo stanie się z atomem uranu. Ze wzoru na siłę, którą wyprowadziliśmy w osobnym artykule – fizyka jądrowa….-,widać, że ta siła spada wraz ze wzrostem liczby N – protonów i neutronów w jądrze. Przypomnimy ten wzór.
 
Dlatego tylko ciężkie pierwiastki są promieniotwórcze. Energia zaabsorbowana przez atom uranu od pędzącego neutronu jest większa niż siła wiązania więc dochodzi do rozszczepienia. Jądro to podzieli się na dwie części i siły odpychania elektrstatycznego staną się większe od siły jądrowej. w ten sposób dwa nowe atomy (pierwiastki) pomkną z olbrzymimi prędkościami w przeciwnych kierunkach.
Wyprowadzimy teraz równanie rządzące lawinową reakcją łańcuchową. W wyniku rozszczepienia powstaje średnio 2,1 nowych neutronów, które to powodują rozszczepienie kolejnych jąder. To sedno tej lawiny.
Musimy teraz posłużyć się średnią drogą swobodną, którą neutron przebędzie w kuli uranowej do momentu zderzenia.. Jest ona zdefiniowana aksjomatycznie jako

n Jests liczbą atomów uranu zawartych w jednostce gęstości.
Wzór na przekrój czynny na zderzenie wyprowadziliśmy w osobnym artykule, kryjącym się pod poniższym linkiem.

http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2012/11/wyprowadzeniewzorow-na-liczbe.html

przypomnimy go

Lub równoważny wzór wynikający z trmodynamiki, który wyprowadziliśmy w artykule.

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/06/srednia-droga-swobodna.html

Co prawda jest on dla przypadku uderzających w przeszkodę elektronów lub protonów, jednak za ładunki można w sposób odpowiedni podstawić masy, a znając gęstość uranu po odpowiednich przekształceniach policzymy n – liczbę atomów i ostatecznie otrzymamy wzór na przekrój czynny dla uderzających w przeszkodę na przykład neutronów. Jak podają w książkach rozmiar tego przekroju jest prawie identyczny z rozmiarami rzeczywistymi atomu uranu. Jego promień r = 8,6 [fn]. Znając tym samym długość fali, którą musi posiadać pędzący neutron, łatwo już z teorii de broila wyliczyć prędkość neutronu co za tym idzie i przekrój czynny na zderzenie. Stąd istnieje konieczność spowolnienia neutronów elektrowniach atomowych.
Liczbę n neutronów policzymy ze wzoru

Gdzie
N liczba Avogardo
V objętość kuli uranowej
Liczby Avogardo ma niebyć, przepraszamy za błąd, wystarczy sama masa atomu uranu
Całkowita liczba pojawiających się neutronów na kilogram do momentu całkowitego rozszczepienia jest równa

I musi być ona równa gęstości neutronów wynikających z prawa dyfuzji i rozszczepienia.
Dyfuzja
Oznaczamy współczynnik dyfuzji symbolem D, wiadomo jest,że dyfuzja czyli samoczynny przepływ ośrodka odbywa się od ośrodka o większej gęstości do ośrodka o mniejszej gęstości. Umieśmy układ współrzędnych tam gdzie nastąpiło pierwsze rozszczepienie, a więc po upływie pewnego czasu ta gęstość neutronów w tym początku będzie największa.

Przez ściankę d(y)*d(z) a więc w kierunku osi x przepłynie tyle neutronów jak to pokazaliśmy na poniższym zdjęciu Rząglujemy tak gęstością neutronów jego objętością i czasem by otrzymać wymiar strumienia równy [kg]. Musi tak być gdyż strumieniem jest masa. Wygląda to następująco

Pierwsze wyrażenie w nawiasie rozwijamy w szereg Taylora

Przyrost neutronów wynikający z rozszczepienia.
Średni czas zderzeń neutronów z jądrami atomu policzymy z klasycznego wzoru na prędkość.

Musimy doprowadzić końcowe lawinowa reakcja łańcuchowa do takiej postaci by jego wymiar równał się [kg/s], gdyż takie wymiary mamy w dwóch pierwszych, Pamiętamy, że analiza wymiarowa to bardzo potężne narzędzie w fizyce. Wracając do wątku, zatem częstość pojawiających się nowych neutronów wynosi 1/t

Taki wzór powstał z konieczności uwzględnienia gęstości uranu i konieczności wyżej podanej. Wobec tego na jednostkę czasu pojawi się nowych neutronów

To trzecie równanie, teraz je przyrównujemy

Jest to zasadnicze równanie rządzące lawinową reakcją łańcuchową nie tyko dla uranu.
Proponowany sposób rozwiązania, niedo końca gdyż nieumiemy go rozwiązać. Dla nas jest nietypowe. Przekształcimy operator Nabla do następującej postaci, pomnożyliśmy i podzielliśmy przez r.

Dalej zgadujemy rozwiązanie lewej strony równania, poniewarz reakcja jest lawinowa więc łatwo przewidzieć z dużym prawdopodobieństwem, że zmiana gęstości w czasie będzie przebiegała wykładniczo. Oczywiście trzeba takie założenie potwierdzić doświadczalnie, my możemy się tylko pobawić w zgadywanie i ocenić czy wynik wyszedł nam sensowny. Oto proponowana funkcja z książki

Różniczkując to równanie po czasie, rozwijając w szereg Taylora i biorąc pierwsze przybliżenie Otrzymamy.

Następnie mnożąc i dzieląc obustronnie przez wyrazy występujące przy drugiej pochodnej, otrzymujemy właśnie nie typowe dla nas równanie różniczkowe

Rozwiązując to równanie względem r otrzymamy promień krytyczny pierwiastka promieniotwórczego przy , którym zacznie się lawinowa reakcja łańcuchowa. Prędkość występującą w tym wzorze należy wyznaczyć z postulatu de Broila. Pamiętajmy, że długość fali jest równa średnicy atomu danego pierwiastka promieniotwórczego
Wielkość N/A jest naszym pomysłem najprawdopodobniej błędnym, więc można go opuścić, a rozwiązaniem tego równania jest
(r*q) = (r*q)*sin(k*r)
gdzie za 3*v/(V*l) podstawiliśmy k^2. Gęstość występująca we wzorze jest gęstością neutronów powstałych na wskutek rozszczepienia. Po skróceniu wielkości(r*q) otrzymamy
1 = sin(k*r)
idąc dalej po opuszczeniu sinusa i uwzględnieniu że tem równaa się jeden dla kąta pi otrzymamy
Pi = k*r
Podstawiając k i średnią drogę swobodną l otrzymamy promień krytyczny r równy około dziewięciu centymetrów. Przy takim promieniu kuli uranowej rozpocznie się lawinowa reakcja łańcuchowa. Z innego rachunku bardziej prawdopodobnego, który znajdziecie pod poniższym linkiem:
http://jakpowstajfraktale.blogspot.com/2013/01/laplasjan-w-ukadzie-sferycznym-i.html
promień ten wyszedł nam około 75 centymetrów. Rachunek ten jest podobny i różni się co do stałej. Założyliśmy przy tym, że gęstość neutronów w kuli uranowej zależy liniowo od promienia r, czyli jest sferyczny i zastosowaliśmy wzory przejścia do układu sferycznego. Gdyby np. gęstość ta zależała od r do kwadratu wtedy należało by zastosować wzory przejścia do układu parabolicznego, tym samym Laplasjan taki wyszedł by zupełnie inny. Sami widzicie, że chcąc zbudować elektrownie atomową potrzena jest ogromna wiedza i trzeba było wykonać całą masę doświadczeń.
q = q*r
. Jeżeli tak nie jest Laplasjan wyjdzie zupełnie inny. Ogólny wzór, którego nie sprawdziliśmy, a zdarzają się błędy nawet w tak renomowanych stronach, znajdziecie tutaj.
http://pl.wikipedia.org/wiki/Operator_Laplace’a
Zauważcie, że gdy kąt teta i fi jest stały wtedy pochodne po tych kątach zerują się, skraca się również r w pierwszym członie równania i dostajemy tylko drugą pochodną po r jednak bez stałej!!!!!!!!!
Jest to identytczne równanie co do formuły z równaniem falowym Scrodingera bez czasu. Dlatego gęstość neutronów q oznaczymy dalej symbolem k-si i od razu chcemy tutaj sprostować popularny błąd szerzący się w internecie i książkach. Chodzi nam o rozwiązanie funkcji falowej np. Równwnia Schrodingera. Funkcja k-si, która stanowi długość fali niema postaci wykładniczej. Poprawną postać podamy wraz z dowodem logicznym.

Gdzie
x – jest promieniem np. atomu wodoru
C i C1 – są stałumi, kt,óre trzeba wyznaczyć z warunków brzegowych danego zjawiska fizycznego.
ksi dla ro jest podstawową długością fali
Dalej możemy stosować następujące przyblożenia. Należy jednak pamiętać, że są to tylko przybliżenia. Dokładnego wzoru opisującego rozkład falowy pola k-si, nie umiemy w tej chwili rozwiązać.

Pisząc ten artykuł wykorzystaliśmy książkę:
Szczepan Szczeniowski
Fizyka doświadczalna cz. VI
Fizyka jądra i cząstek elementarnych
  wydanie drugie poprawione