Dynamika w pigułce1.

Wszechmocny jest doskonale zły!!!!.  W tej sytuacji nie wiedza jest rajem a wiedza piekłem. Zastanów się dobrze, czy jego wolą jest, Byś się uczył.
Przemyśl to dobrze i zdecyduj czy chcesz wystąpić przeciwko niemu, swoją nauką wbrew jego woli. Pewne jest, że są Ludzie, którym pozwolił się uczyć do pewnych granic. Przemyśl to dobrze, za nim zaczniesz czytać poniższy artykuł.

Aksjomaty matematyki znajdziecie pod adresem:

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/12/matematyka-w-piguce.html?view=timeslide

Zasada zachowania pędu 

Koniecznie trzeba zapoznać się z podstawami rachunku całkowego i pojęciem pochodnej funkcji, bez tego nie ruszycie dalej. Kliknij lub skopiuj poniższe linki do swojej przeglądarki

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-pochodna-funkcji-rachunek.html

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-do-postu-rachunek-cakowy-dla.html

Jeżeli weźmiemy pod uwagę układ, który stanowią dwie kule o masie m1 i m2 i jeżeli założymy, że m1 posiada pewną prędkość w kierunku nieruchomej kuli m2, to udowodniono doświadczalnie, że pędy układu przed zderzeniem i po zderzeniu są sobie równe. zakładając, że m2 jest większe od m1, wtedy zgodnie z tym prawem część prędkości m1 zostanie przekazana kuli m2 ale zgodnie z poniższym równaniem, które opisuje zasadę zachowania pędu

                                             P1 = P2

                                       m1*v1 = m2*v2

Dowód

Weźmy pod uwagę działającą siłę i z drugiego prawa Newtona wiemy, że F = m*a. Dalej zauważymy, że przyśpieszenie jest pochodną prędkości po czasie, dalej w formie zdjęć

Następnie podstawiamy siłę równą zeru, to znaczy, że od tej pory ciało porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, pamiętajmy siła która nadała prędkość ciału choć znikła to jednak prędkość trwa dalej. Otrzymaliśmy pochodną pędu po czasie równą zeru, tylko pochodna ze stałej równa się zeru. Ponieważ całkowanie jest odwrotnością różniczkowania więc całka pochodnej pędu da pęd równy stałej co pokazaliśmy na poniższym zdjęciu.

Jeżeli więc masa m1 i prędkości v1 zderza się z masą m2 i nadaje jej prędkość v2to iloczyny tych wielkości przed zderzeniem i po zderzeniu muszą być sobie równe m2*v2 musi się równać tej samej stałej!!!!!!

Powyższe zdjęcie pokazuje matematyczny zapis zasady zachowania pędu.  

Dowód zachowania momentu pędu

Moment pędu jest prawem aksjomatycznym określonym równaniem

Jeżeli rzeczywiście moment pędu jest zachowany to po upływie pewnwgo czasu też powinien być taki sam. Wobec tego zróżniczkujmy moment pędu po czsie i zobaczymy co z tego wyjdzie

Wielkości w tym równaniu zerują się gdyż prędkość ciała jest równoległa do pędu,i siła jest równoległa do promienia, czyli kąt alfa równy zeru. przejście z iloczynu wektorowego do skalarnego pokazujemy na poniższym zdjęciu

Otrzymaliśmy następujący wynik. Pochodna mometu pędu L po czasie jest równa zeru. Tylko pochodna ze stałej jest równa zero, wobec tego całka tego równania daje stałą

Tak więc promień i pęd po upływie pewnwgo czasu tak się będą wzajemnie transformować, że zajdzie równość

To końcowy wzór przedstawiający zasadę zachowania momentu pędu L

 

Cztery prawa aksjomatyczne (wynikające z obserwacji) odkryte przez Newtona

                                                   1

Jeżeli na ciało niedziała żadna siła lub działające siły równoważą się, wtedy ciało to porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej lub po okręgu. 

                                                   2

Jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła wtedy ciało to porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, a wartość tego przyśpieszenia wynosi

                                                a = F/m

                                                    3

Jeżeli na ciało a działa ciało b z siłą F, to ciało a działa na ciało b z taką samą siłą o przeciwnym znaku.

Inaczej to prawo naturalne nazywamy prawem akcji i reakcji. " Uderz w stół a stół Ci sprawiedliwie tak samo odda"

 4

Prawo powszechnego ciążenia.

Siła przyciągająca dwie masy jest wprost proporcjonalna do iliczynu tych mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami.

G  - Stała grawitacji

m1 i m2 - masy

r  - odległość między środkami mas.

Prawo naturalne równoważności pracy i energi.

Wyobraźmy sobie ciało na które działa niezrównoważona siła, umieszczone w próżni, w ten sposób nie musimy zastanawiać się nad oporami. Każdy czuje że takie ciało będzie poruszać się w takich warunkach ruchem jednostajnie przyśpieszonym. Znowu otrzymamy dwa równania, pierwsze opisane przez Newtona, które też jest prawem naturalnym a = F/m i drugie wyprowadzony przez Nas wcześniej wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyśpieszonym delta(S) = 1/2*a*(delta(t))^2., oraz ogólne prawo naturalne wiąrzące te dwa prawa, będące iloczynem tych dwóch praw, które to prawo nazwano pracą i nadano mu symbol (W). Tak więc:

 Czemu jest równy ten iloczyn pokazaliśmy na poniższym zdjęciu

wielkośc 1/2*m*(delta(v))^2 nazwano energią, czyli otrzymaliśmy następne prawo naturalne i nadano mu symbol E.

 Bardzo często korzysta się w fizyce kwantowej i jądrowej ze wzoru na energię w postaci.

 P - Pęd caiła

Definicja ciśnienia. - Aksjomat - Umowa.

Ciśnieniem P nazywamy siłę F działającą na powierzchnię S. Co zapisujemy wzorem.

Równoważność energii i iloczynu ciśnienia i objętości.

Złóżmy, że mamy naczynie zamknięte ruchomym tłoczkiem, który porusza się w kierunku zaznaczonym strzałką. Wtedy iloczyn ciśnienia i zmiany objętości równa się pracy czyli energii.

Dowód.

Wyprowadzenie wzoru na pierwszą prędkość kosmiczną

Pierwsza prędkość kosmiczna to prędkość orbitalna poza atmosferą Ziemi, dlatego poza atmosferą by nie było tarcia. Wtedy taki satelita będzie w nieskończenie długo poruszał się wokół Ziemi. Wychodzimy z pierwszego aksjomatycznego prawa Newtona, które mówi, że siła, grawitacji i siła odśrodkowa muszą się równoważyć by ruch był jednostajny. Z porównania tych wzorów otrzymujemy:

Za R należy podstawić odległość, w której kończy się atmosfera planety.

Wyprowadzenie wzoru na drugą prędkość kosmiczną

Jest to prędkość powyżej której ciało opuści pole grawitacyjne planety, innymi słowy nigdy na planetę nie spadnie. Prędkość tą policzymy przez przyrównanie do siebie energii ruchu postępowego i energii grawitacyjnej. Wyżej wyprowadziliśmy wzory na pracę sił grawitacji i udowodniliśmy, że praca jest równoważna energii. Mamy więc:

Należy pamiętać, że jest to prędkość graniczna, więc aby ciało na zawsze opuściło pole grawitacyjne planety należy temu ciału nadać prędkość odrobinę większą.

Wzór na okres obiegu planety wokól Słońca

Wzór ten wyprowadzamy z warunku równowagi sił:

- grawitacji
- odśrodkowej

Taki warunek jest konieczny by planeta zachowała stałą odległość os Słońca.

G - Stała grawitacji
m Masa planety Ms  Masa Słońca

Kto nierozumie wyprowadzenia powyższego wzoru, ten znajdzie wytłumaczenie poniżej.

Pierwsze i drugie prawo Keplera

I prawo Keplera
 
Ruch planet odbywa się po torach eliptycznych, gdzie w jednym z ognisk elipsy leży Słońce.
 
II prawo Keplera
 
Promień wodzący planety zakreśla w równych odstępach czasu równe pola. Inaczej mówiąc prędkość polowa planet jest stała.

Dowód drugiego prawa Keplera

Prędkość polowa będzie zmianą pola zakreślonego przez planetę do czasu w którym to ple zostało zakreślone. Rysujemy wykres i układamy mikro równanie

Ponieważ jak widać na poniższym zdjęciu chodzi nam o dS, więc wielkość tą wyciągamy spod całki.

Skorzystamy teraz z prawa zasady zachowania momentu pędu L

Widać, że prędkość polowa zależy tylko od momentu pędu L, który jest stały, więc i prędkość polowa jest stała, co należało udowodnić 

III Prawo Keplera 

Kwadratyo kresów obigu planet wokól Słońca. Są proporcjonalne do trzecich potęg odległości od Słońca.

Dowód

Z pierwszego prawa Keplera wiemy, że planety krążą wokól słońca po torach eliptycznych, to znaczy znajdują się na przemian w maksymalnej i minimalnej odległości od Słońca. Oznaczmy minimalną odległość przez R1 a okres obiegu przez T1 i odpowiednio maksymalną odległość przez R2 i T2. Oktres obiegu planety po torze kołowym policzyliśmy wcześniej. Przypomnimy ten wzór.

Traktujemy R1 i R2 jako orbitę kołową. Otrzymujemy więc układ równań dla T1 i T2. Wystarczy więc te dwa równania podzielić przez siebie a otrzymamy dowód trzeciego prawa Keplera. 

Tor lotu meteorytów.

Najpierw udowodnimy wzór na moment pędu L, który z definicji równa się
                                     

 L = m*v x r

Jest to aksjomat fizyki, więc nie podlega dalszemu dowodzeniu. Trzeba ten wzór zrozumieć i nauczyć się na pamięć. Więcej aksjomatów fizyki znajdziecie pod adresem:

 
 http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-artykuu-prawa-naturalne-fizyka.html

Na zdjęciu pokazaliśmy sposób przejścia do innego zapisu tej wielkości

Kto nie rozumie skąd wzięła się taka pochodna r, wytłumaczenie znajdzie pod adresem
http://jakpowstajafraktale.blogspot.com/2012/02/rodzaje-przyspieszen-w-ukadach.html?view=timeslide
Zbadamy teraz jak zależy promień wodzący punktu m czyli jego tor ruchu od konta, który zależy od czasu.Zastosujemy tu pewne przekształcenie matematyczne oto ono

Zauważmy że tak naprawdę kont fi skraca się i otrzymujemy klasyczną definicję prędkości. Równanie na prędkość przedstawiliśmy w takiej postaci gdyż pochodna kąta po czasie równa się omedze, którą wyprowadziliśmy na pierwszym zdjęciu. Możemy więc przedstawić to równanie w postaci: By lepiej zrozumieć tą konwencję wyciągania pochodnej, podamy przykład Całkowita pochodna równa się pochodna funkcji zewętrznej, gdzie fi traktujmy jako x razy pochodna funkcji wewnęŧrznej fi, gdzie t tym razem traktujemy jako x.Ponieważ szukamy przyśpieszenia więc z powyższego równania wyciągamy pochodną, Pamiętając , że r zależy od fi i od czasu, czyli jest funkcją uwikłaną, oraz dalej stosujemy wyżej opisaną sztuczkę.Jest to dość ciężkie więc wyprowadzeniu pokazanemu na poniższym zdjęciu trzeba poświęcić trochę uwagi.
W ten sposób otrzymaliśmy przyśpieszenie, jednak to jeszcze nie jest koniec. Zwróćmy uwagę na nawias, otóż ktoś zauważył, że druga pochodna z funkcii,  którą oznaczymy
                                                                                 b = 1/r,
 jest równa wyrażeniu w nawiasie
                                         Dowód
To bardzo potężny wniosekW powyższym dowodzie r zależy od kąta fi więc jest funkcją złożoną!!!!!.Więc przyśpieszenie możemy zapisać w postaci: Przed całym wyrażeniem powinien być minus.Lub w bardziej przejrzystym zapisie Bardzo potężne równanie. Jako przykład wyprowadzimy wzór na tor ruchu cząstki w polu sił centralnych.Układamy równanie sił, wypadkowa siła będzie równa sile grawitacji minus siła odśrodkowa działająca na cząstkę Za drugą pochodną r podstawiamy wcześniej wyliczony wzór Pierwszy człon w nawiasie wyprowadzamy przed nawias, otrzymując w ten sposób cos(fi)^(-2) Wzory na całki funkcji trygonometrycznych znajdziecie pod adresem
 http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node73.html
        Całka z tg(x) = ln(cos(x))        Całka z ctg(x) = ln(sin(x))
Podwójna całka takiego wyrażenia wynosi: Gdzie za omegę podstawiliśmy wzór wyliczony na początku. Chyba coś popsuliśmy w podstawieniach, sami sprawdźcie, to już proste
Promień r występujący w cosinusie możemy wyrazić za pomocą czasu trwania ruchu. Wyprowadzenieznajdziecie pod adresem

 http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/10/kinematyka-w-piguce_31.html?view=timeslide