Kinematyka w pigułce1.

Wszechmocny jest doskonale zły!!!!.  W tej sytuacji nie wiedza jest rajem a wiedza piekłem. Zastanów się dobrze, czy jego wolą jest, Byś się uczył.
Przemyśl to dobrze i zdecyduj czy chcesz wystąpić przeciwko niemu, swoją nauką wbrew jego woli. Pewne jest, że są Ludzie, którym pozwolił się uczyć do pewnych granic. Przemyśl to dobrze, za nim zaczniesz czytać poniższy artykuł.

Aksjomaty matematyki znajdziecie pod adresem:

http://darmowa-fizyka.blogspot.com/2013/12/matematyka-w-piguce.html?view=timeslide 

Aksjomat prędkości i przyśpieszenia

Poniższe zdjęcie przedstawia wzór na prędkość i przyśpieszenie

Prędkość, jest to zmiana drogi podzielona przez czas, w którym ta zmiana nastąpiła

Przyśpieszenie, jest to zmiana prędkości podzielona przez czas, w którym ta zmiana nastąpiła

Oto definicje tych dwóch praw aksjomatycznych

Dla ruchu jednostajnego, to znaczy takiego, w którym wartość prędkości jest stała, wzór na drogę otrzymujemy przez rozwiązanie pierwszego równania względem drogi, wtedy

                   

                             delta(S) = delta(v)*delta(t)

Powyższe zdjęcie przedstawia drugie równanie ze zdjęcia pierwszego rozwiązane względem delta(v). Następnie kożystamy z prawa mówiącego że prędkość razy czas równy jest drodze. Za prędkość podstawiamy delta(v) otrzymane z drugiego równania a pokazane na zdjęciu powyżej.

Zauważmy, że zmiana prędkości = a*delta(t) pomnożona przez czas, daje pole powierzchni, którą pokazaliśmy na zdjęciu drugim, więc droga równa się połowie tego pola (jest to sedno rachunku całkowego, całkowanie oznacza liczenie pół pod wykresem). Kto ciekawy całkowania, może spojżeć klikając na poniższy link

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-do-postu-rachunek-cakowy-dla.html

Droga w ruchu jednostajnie przyśpieszonym równa się

Jest to też prawo naturalne, czyli mamy już cztery takie prawa, z tego dwa wzory opisujące drogę otrzymaliśmy przez wynikanie

                                 Ruch jednostajny po okręgu (Wynikanie)

Znów korzystamy z prawa naturalnego,  mówiącego, że zmiana prędkości daje przyśpieszenie. Prędkość jest wektorem i co prawda w ruchu jednostajnym po okręgu wartość tego wektora niezmienia się, ale zmienia się kierunek tej prędkości i to wystarczy by powstało w takim ruchu przyśpieszenie. Prawo naturalne , które jest przyśpieszeniem w ruchu po okręgu, opisane wzorem przedstawia poniższe zdjęcie. Wektor prędkości równolegle przenosimy do wspólnego punktu.

Mierząc kątomierzem kąty zawarte między R i v, udowodnimy sobie, że są one sobie równe, znaczy to, że i tangensy tych kątów są sobie równe. Z porównania tych sinusów dostaniemy pierwsze równanie i drugie mamy już wcześniej wyprowadzone dotyczące drogi w ruchu jednostajnym. Po porząglowaniu tymi dwoma wzorami, co przedstawiliśmy na poniższym zdjęciu otrzymamy wzór opisujący przyśpieszenie odśrodkowe, które jest prawem naturalnym.

Ogólnie, przejście z ruchu prostoliniowego do ruchu obrotowego ma prostą zasadę:

w ruchu po okręgu drogę stanowi kąt alfa, a rolę prędkości liniowej pełni wielkość omega - prędkość kątowa. Rolę czasu liniowego pełni okres T, którypodstawiamy za czas liniowy. Są to kolejne aksjomaty dla ruchu kołowego. Są proste, prawda, ale wszystkie aksjomaty takie są. Zobaczycie dalej jak proste zasady mogą dać skomplikowanw wyniki.

 I tak

Droga liniowa 

S = v*t

po podstawieniu powyższego, konta alfa

alfa = omega*T

Jeżeli rozpatrujemy pełny obwód koła, wtedy

S = 2*(pi)*R

Prędkość obwodowa wyrażona za pomocą wielkości kołowych jest następująca

V = S/t = obwód/T = (2*(pi)*R)/T = omega*R

omega = 2*(pi)/T - Aksjomat

Prędkość w układach nieinercjalnych

Układ nieinercjalny to układ w którym występują przyśpieszenia, a więc taki który który porusza się ruchem przyśpieszonym prosto liniowym lub porusza się po okręgu a ogólnie po dowolnej krzywej. W ruchu jednostajnym po okręgu a więc takim w którym nie zmienia się wartość prędkości też występuje przyśpieszenie, powodem tego jest wektorowy charakter prędkości. Co prawda wartość prędkości nie zmienia się ale zmienia się jej kierunek co generuje delta v w czasie, który tutaj jest okresem obiegu. Zmiana której kolwiek wartości jakiego kolwiek wektora w czasie powoduje pojawienie się przyśpieszenia. To pełna definicja przyśpieszenia.

Wruchu po okręgu występuje jedno przyśpieszenie a w ruchu po dowolnej krzywej cztery, jedno z nich będzie tym które występuje w ruchu po okręgu, nazywane przyśpieszeniem dośrodkowym.
Wyprowadźmy te przyśpieszenia

Ciało w dowolnej chwili t pokazuje wektor:

R pokazuje położenie ciała (najkrótszą drogę do niego, czyli linę prostą), a (wersor.r) jest wektorem jednostkowym = 1 pokazującym kierunek na którym położony jest wektor R.
Przypominamy, że wektor ma trzy wartości:


Punkt przyłorzenia
Kierunek, który pokazuje (wersor.r)
Zwrot


Dalej potrzebne są wiadomości ze szkoły średniej, ściślej znajomość rachunku różniczkowego i całkowego. My wyjaśniamy te rachunki w postach:

http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-do-postu-rachunek-cakowy-dla.html

 http://darmowa-fizyka-i-matematyka.blogspot.com/2013/07/poprawa-postu-pochodna-funkcji-rachunek.html

 http://www.izyda123456789.e-blogi.pl/komentarze,169151.html

Tak więc prędkość jest to zmiana drogi w czasie

delta=R2-R1 jest to po prostu różnica drogi, czasu lub jakiej kolwiek innej wartości, mierzonej na początku i na końcu
Kiedy te wartości mierzymy coraz częściej wtedy delta staje się coraz mniejsza zarówno drogi jak i czasu. Jednak mimo, że każda z osobna zmierza do zera, to jednak podzielone przez siebie zmierzają do pewnej granicy. jest to sedno rachunku różniczkowego.

Podstawiamy teraz za delta R nasz wektor

Który różniczkujemy po R i po ( wersor.r).


ZAGŁĘBIAJĄC SIĘ W RACHUNEK RÓŻNICZKOWY, Z DEFINICJI POCHODNEJ, KTÓRĄ PODALIŚMY, MOŻNA UDOWODNIĆ, ŻE POCHODNA ILOCZYNU DWÓCH FUNKCJI RÓWNA SIĘ:


(POCHODNA FUNKCJI PIERWSZEJ)+(FUNKCJA DRUGA)+(FUNKCJA PIERWSZA)*(POCHODNA FUNKCJI DRUGIEJ)


                                                                   więc

W pierwszym członie równania mamy zmianę promienia, który przecież jest drogą, w jednostce czasu, a to jest definicja prędkości, której wersor pokazuje kierunek.
W drugim członie mamy zmianę (wersora.r) w czasie, więc jest to też prędkość. Co to za prędkość?
Otóż zmiana kierunku wersora na początku równoległego z wektorem R, może być tylko prostopadła do wektora R.
Otrzymaliśmy więc zmianę konta, a to oznacza prędkość orbitalną, po kącie (fi) i od razu dodajemy (wersor.fi) też jednostkowy który pokazuje kierunek ruchu.
Tak więc

z definicji zmiana konta w czasie oznacza prędkość kontową omegę.


Wobec tego prędkość orbitalna

A ogólna prędkość

Gdzie


T - jest okresem obiegu

Prędkości, radialna i orbitalna, zachodzą jednocześnie zmiana r zmienia fi a zmiana fi zmienia r.  

Są to składowe prędkości wzdłóż promienia i konta fi, Tak jak pokazaliśmy na rysunku niżej. Widać wyraźnie, że wypadkowa prędkość powstaje przez zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

 Tak jak pokazaliśmy na zdjęciu, wektor wodzący r zakreśla spiralę. Udowodnimy to teraz. Dowód jest bardzo prosty. Skorzystamy z równań

 Gdzie a jest przyśpieszeniem w kierunku R. Podstawiamy to teraz do równania na prędkość wypadkową. Otrzymujemy

 Dalej kożystamy z prawa mówiącego, że całka prędkości po czasie daje drogę, czyli nasz szukany wektor wodzący. Zauważmy podstawowy fakt, że zmianie czasu toważyszy zmiana kosinusa. To oznacza, że całkujemy po czasie i po d(cos(fi)). Zapis matematyczny wygląda następująco.

 

Wartość logarytmu jest stale ujemna więc stała C jest ujemna.

Stałą C wyliczamy względem okresu T. Jeżeli prędkość kontowa równa się zeru wtedy pozostaje tylko prędkość radialna. Wię:

gdzie:

ar - Przyśpieszenie działające wzdłuż promienia R.

Są takie dwa. Ale o tym na końcu tego artykułu.

Powinna być też druga stała względem czasu t, gdyż dwukrotnie całkujemy. Ta stała równa się prawdopodobnie zerul ub poprostu R0. Trzeba by tą stałą, jeżeli istnieje poprostu dodać do powyższego równania.

 W ten sposób otrzymaliśmy równanie krzywej logarytmicznej. Kont fi liczymy z 

                                          

 fi =  arccos((((1+(pi*t/t)^2)^(-1/2))

Za okres T nigdy nie podstawiamy zera tylko nieskończoność. Wtedy w nieskończoności ruch obrotowy równa się zeru. W ten sposób wielkość w logarytmie znika i mamy logarytm z jedynki.

Jest to punkt widzenia obserwatora związanego, znajdującego, się, w układzie nieinercjalnym. Z punktu widzenia obserwatora znadującego się poza układem nieinercjalnym, punkt, który opisaliśmy będzie poruszał się po spirali logarytmicznej.

Rodzaje przyśpieszeń w układach nieinercjalnych

Różniczkując jeszcze raz otrzymaną prędkość po czasie w wyżej opisany sposób otrzymamy.

,
gdzie

wielkości V i r są wektorami!!!!!!! i podlegają regule prawej dłoni. 

Różniczkujemy pierwszą prędkość nie tą otrzymaną z twierdzenia Pitagorasa.

Wypadkowe przyśpieszenie otrzymujemy z tego twierdzenia, tak jak dla prędkości. 

Dla tych, którzy wezmą się za liczenie tych przyśpieszeń, mamy podpowiedź. Mianowicie pochodna wersora fi po czsie daje zmianę kąta fi, czyli prędkość kontową, która to musi być prostopadła do wersora fi. To oznacza, że zmiana ta następuje wzdłuż promienia R. Cyli taka pochodna równa się ujemnej prędkości kontowej omega razy wersor r. Minus, gdyż zmiana zachodzi w kierunku przeciwnym do wersora r. Pochodna daje zawsze wielkość prostopadłą, do wielkości wyjściowej.

Kropki oznaczają pochodne po czasie.

 Wzory na całki funkcji trygonometrycznych Znajdziecie pod adresem:

http://www.math.us.edu.pl/pgladki/faq/node73.htm

 
•   Całka z tg(x) = ln(cos(x))  
•   Całka z ctg(x) = ln(sin(x))